Noch eine Reihe

26.12.2006, 20:01

SilverBullet

Noch eine Reihe

Also ich glaub nicht das ich das so richtig alles verstanden habe mit der Konvergenz von Reihen.
Würde gerne noch ein Beispiel probieren :

Zitat:

Gegeben ist die Folge : $\begin{eqnarray*} a_n = (-1)^n \frac 1 {\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$
Zu untersuchen ist $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~a_n \end{eqnarray*}$ auf konvergenz und absolute konvergenz.

Ok mal schauen ob ich es hier hin bekomme.

Man kann direkt schon einmal sagen, dass die Reihe nicht absolut konvergent ist denn es gibt eine divergente Minorante.

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{\sqrt {n}} \geq \frac 1 n \end{eqnarray*}$

Damit wäre schon einmal gezeigt das die Reihe nicht absolut konvergiert.

Wie sieht es nun mit der Konvergenz aus ?

Da ja $\begin{eqnarray*} \frac 1 {\sqrt {n}} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist,
konvergiert die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~(-1)^n \frac 1 {\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ nach dem Leibnitz-Kriterium

Habe ich das so richtig gemacht ?
Wäre super wenn mir jemand zeigt wie ich beispielsweise für $\begin{eqnarray*} \frac 1 {\sqrt {n}} \end{eqnarray*}$ elementar Beweise das es eine Nullfolge ist. Das versteh ich noch nicht wirklich unglücklich

26.12.2006, 20:10

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Argumentation mit dem Leibniz-Kriterium ist richtig. Für den Beweis der Nullfolge kannst du einfach die Definition der Konvergenz benutzen. Du musst also ein N bestimmen, damit gilt:

$\begin{eqnarray*} |\frac{1}{\sqrt n}|<\epsilon \end{eqnarray*}$

Löse doch mal nach n auf

26.12.2006, 20:17

SilverBullet

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann erhalte ich $\begin{eqnarray*} \mid (\frac 1 \epsilon)^2 \mid < n \end{eqnarray*}$
Nun dies ist offensichtlich richtig Big Laugh

Das kann ich dann quasi als allgemeines Verfahren benutzen ?

Zitat:

Die Argumentation mit dem Leibniz-Kriterium ist richtig

Die Argumentation mit der Minorante hoffentlich auch ?

Gruß
Silver

26.12.2006, 20:23

Auf diesen Beitrag antworten »

ja,deine Rechnung ist richtig. Ebenso die Tatsachee, dass keine absolute Konvergenz vorliegt. Einen Königsweg gibt es nie. Oft kann man auch nützliche Konvergenzkriterien anwenden

27.12.2006, 11:00

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Und was ist mit der anderen Voraussetzung des Leibniz-Kriteriums!!!? Da steht nicht nur, dass die Reihe konvergiert, wenn, bezogen auf dieses Beispiel, $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist! Das reicht noch nicht aus. Da steht auch, dass es eine monotone Nullfolge sein soll! Dann hat man Konvergenz, aber das muss erst noch gezeigt werden!

Gruß MSS

27.12.2006, 14:36

SilverBullet

Auf diesen Beitrag antworten »

Hui dachte das wäre schon erledigt wenn man zeigt das es eine Nullfolge ist.

Ich muss also noch folgendes machen :

$\begin{eqnarray*} \frac {1} {\sqrt {n}} > \frac {1} {\sqrt {n+1}} \end{eqnarray*}$

ein wenig umstellen bringt dann :

$\begin{eqnarray*} n+1> n \end{eqnarray*}$

somit wäre gezeigt das die Folge monoton fallend ist und Leibnitz kann nun zum Zuge kommen.

Ist alles komplett MSS ?

mfg
Silver

27.12.2006, 17:07

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ist ok. Aber warum glaubst du, dass jede Nullfolge monoton fallen müsste? verwirrt

Gruß MSS

Neue Frage »

Antworten »

Noch eine Reihe

Verwandte Themen