Integration durch Substitution

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Shqiptari Auf diesen Beitrag antworten »
Integration durch Substitution
Meine Frage:
Hallo Leute ich stehe schon seit mehreren Stunden vor dieser Aufgabe.

Geben ist die Funktion f (x)= 1/1+x².

a) Bestimmen sie mithilfe ser Substitution x= tan z eine Stammfunktion von f.

b) Berechnen Sie das uneigentliche Integral .



Meine Ideen:
Was ist x = tan z???
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Steht doch dran: Das ist eine Substitution.

Im Übrigen bist du seit 7 Monaten dabei. Da kann man erwarten, dass du dich an das Boardprinzip hälst und aussagekräftige Titel für Threads wählst!

air
Cel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration durch Substitution
"Die schwierigste Aufgabe der Welt" ist das bestimmt nicht. Augenzwinkern Titel geändert.

Zitat:
Original von Shqiptari
Geben ist die Funktion f (x)= 1/1+x².


Das meinst du sicher nicht. Denk bitte an die Klammern, wenn du schon kein LaTeX benutzten möchtest!
Shqiptari Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration durch Substitution
Zitat:
Original von Cel
"Die schwierigste Aufgabe der Welt" ist das bestimmt nicht. Augenzwinkern Titel geändert.

Zitat:
Original von Shqiptari
Geben ist die Funktion f (x)= 1/1+x².


Das meinst du sicher nicht. Denk bitte an die Klammern, wenn du schon kein LaTeX benutzten möchtest!


Ja genau ich meinte



Was ist aber mit x= tan z gemeint? Aus tan verstehe ich Tangente aus, aber was hat hier die Tangente zusuchen bzw. für eine Aufgabe?
Shqiptari Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gleichung sieht so aus.

[attach]21184[/attach]
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

http://de.wikipedia.org/wiki/Tangens_und_Kotangens
 
 
Shqiptari Auf diesen Beitrag antworten »

Also durch Substitution x= tan z, ersetze ich das x mit tan z.



Aber wie integriere ich die tan z?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja nur dann muss dort auch f(z) stehen.
Und was wird dann aus dem "dx" ?
Shqiptari Auf diesen Beitrag antworten »

Aus dem dx wird d tan z

Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

In die Funktionsvorschrift kannst bzw sollst du das nicht alles reinquetschen.
Viel mehr ins Integral:



Und bedenke x=tan(z) ---> dx/dz=...
Shqiptari Auf diesen Beitrag antworten »







Und davon muss ich die ableitung machn, wenn ich mich nicht irre.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst die 1. Ableitung von tan(z) bilden.
Shqiptari Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bjoern1982
Du musst die 1. Ableitung von tan(z) bilden.

Die wäre dann

klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Beachte:

, was in diesem Fall brauchbarer ist. Augenzwinkern
Shqiptari Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versteh es nicht, ich glaub ich bin zu dumm dafür unglücklich
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Im Integral steht nun also:





Scheint also auf den ersten Blick keine besonders tolle Vereinfachung durch die angegebende Substitution gewesen zu sein.

Nun kann man aber 1+tan²(z) noch etwas umschreiben, indem man tan(z)=sin(z)/cos(z) benutzt und dann gleichnamig macht.
Was entsteht dann bei dir ?
Shqiptari Auf diesen Beitrag antworten »

Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Sicher oder vielleicht nochmal überdenken ?
Shqiptari Auf diesen Beitrag antworten »

ja für tan(z) setzen wir ja sin(z)/cos(z) ein. Dieses 1/ cos ^2 (z) ist unnötig
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Du beachtest jedoch weder, dass da tan²(z) steht, noch das "gleichnamig machen" in meinem Hinweis.
Shqiptari Auf diesen Beitrag antworten »

Ich geh da mal schritt für schritt. Also ich setz für tan²(z) sin(z)/cos(z) und da jeweils hochquadrat.



Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte erst das wäre nur ein Schreibfehler mit deinem "+1" aber offenbar doch nicht.
Da steht doch klar "1+tan²(z)" im Nenner und nicht "+1tan²(z)"
Bitte konzentriere dich ein bisschen mehr bzw sieh genau hin.

Also, neuer Versuch. smile
Shqiptari Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Frage. Für was brauchen wir dieses?

Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Das lass voerst nur mal so da stehen.
Wenn du alles richtig machst dann wird sich das am Ende wegkürzen.
Shqiptari Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann versuche ich es noch mal.


Das cos² kürtzt sich weg.



Gleich

Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Du weigerst dich offenbar konsequent das zu tun, was ich dir rate.
Dann kann ich leider nicht weiterhelfen. Wink
Shqiptari Auf diesen Beitrag antworten »

Ja aber, was meinst du mit gleichnamig machen? Wo soll ich was gleichnamiig machen? Ich hab das tan(z) zu sin(z)/cos(z)umgeschrieben.

Ich bin grad extrems verwirrt

Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mir halt unsicher ob du mich nur veralberst, denn du schreibst ja weiterhin immer +1 dahin...

Ich schreibe es dir noch einmal sauber hin, danach musst du selbst nochmal schauen:

Shqiptari Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versteh grad nicht woher diese herkommen? Also das meintest du mit gleichnamig machen
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das meinte ich.
Ich bin jetzt erstmal weg, schaue später nochmal rein.
Shqiptari Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt es eine Bezeichnung für dieses Ersetzten des oder ein Verfahren?

Ich mach mal weiter und versuche zum Stammfunktion zu gelangen.






Das cos^2 (z) kürzt sich weg.





Derweil warte ich auf deine Antwort. Bitte nicht schimpfen smile
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


Bis hierhin wunderbar.
Nur dann kürzt du glaube ich die falschen cos²(z) gegeneinander, denn anders kann ich mir das Produkt danach nicht erklären.

Bedenke zwei Dinge:

1) Man dividiert durch einen Bruch, indem man...
2) sin²(z)+cos²(z)=1 (trigonometrischer Pythagoras)
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