Mittelwertsatz

17.09.2011, 20:26

Cheftheoretiker

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Mittelwertsatz

Hallo,

ich habe gerade ein kleines Verständnisproblem zum Mittelwertsatz. Sei f eine differenzierbare Funktion auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\neq b \end{eqnarray*}$ . Dann existiert ein $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ zwischen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} f'(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{eqnarray*}$

Salopp besagt der Satz ja, dass mindestens ein $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ gibt an der Tangente und Sekante übereinstimmen. Nun frage ich mich gerade, wenn man ein Intervall von $\begin{eqnarray*} [1,2] \end{eqnarray*}$ - kann auch noch kleiner sein - wählt, ist dann wirklich garantiert das es mindestens ein $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ gibt in dem sowohl Tangente und Sekante übereinstimmen? Das klingt für mich irgendwie recht eigenartig. Bei einem größeren Intervall kann ich mir das ja gut vorstellen aber bei einem so kleinen Intervall?

hangman! smile

smile

17.09.2011, 20:31

Cel

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Hey,

hast du was Konkretes vor Augen? Die Funktion muss auf [a,b] stetig sein, braucht aber nur auf (a,b) differenzierbar sein.

Was könnte man dir hier sagen? Außer: Egal, wie klein das Intervall ist, es funktioniert. smile

smile

Vielleicht noch folgendes: Wenn die Punkte eng beianander liegen, dann ist die Tangente sofort "fast" der Steigung der Sekanten. Deswegen bekommt man auch einen Punkt, wo es gleich ist.

17.09.2011, 20:34

Cheftheoretiker

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Zitat:

Original von Cel
Hey,

hast du was Konkretes vor Augen? Die Funktion muss auf [a,b] stetig sein, braucht aber nur auf (a,b) differenzierbar sein.

Ich dachte Differenzierbarkeit schließt Stetigkeit mit ein oder wie meinst du das? verwirrt

verwirrt

Ich möchte auch noch eine Aufgabe dazu berechnen. Soll ich dazu ein neues Thema eröffnen?

hangman! smile

smile

17.09.2011, 20:36

HAL 9000

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Zitat:

Original von hangman
Das klingt für mich irgendwie recht eigenartig. Bei einem größeren Intervall kann ich mir das ja gut vorstellen aber bei einem so kleinen Intervall?

Bei dieser Fragestellung sich eine absolute Skalenabhängigkeit vorzustellen finde ich nun wieder eigenartig - oder zumindest doch zum schmunzeln. Augenzwinkern

Augenzwinkern

P.S.: Aus Sicht von $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} [1,2] \end{eqnarray*}$ ein riesengroßes Intervall. Big Laugh

Big Laugh

17.09.2011, 20:37

Cel

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Nein, ich meinte, warum zweifelst du? Der Satz sagt dir, es geht, aber du fragtest, ob es geht, wenn wir ein kleines Intervall nehmen. Die Antwort: Ja.

Das mit dem offenen und abgeschlossenen Intervall war nur eine kleine Verbesserung.

Wenn du eine Aufgabe hast, dann stell sie ruhig hier rein. Wir haben ja noch keine hier drin. smile

smile

17.09.2011, 20:42

Cheftheoretiker

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Ich hätte noch eine kleine Frage, ich habe gelesen das aus dem Mittelwertsatz die notwendige Bedingung für Extrema folgt, kann mir eventuell jemand veraten warum? Big Laugh

Big Laugh

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17.09.2011, 21:00

Cel

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Wenn wir die Steigung 0 betrachten, dann spricht man auch vom dem Satz von Rolle. Stell dir mal eine Funktion mit einem Maximum vor. Man kann dann ein wenig nach links und rechts gehen und dort hat man den gleichen Funktionwert. Schau mal hier:

So, die Sekante zwischen den beiden Punkten (0/-1) und (2/-1) hat die Steigung 0, also gibt es dazwischen ... Idee!

Idee!

17.09.2011, 21:07

Cheftheoretiker

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...ein Maximum. Big Laugh

Big Laugh

Ich hätte noch eine Aufgabe

Zeige mit dem Mittelwertsatz, dass für alle $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} e^x\geq 1+x \end{eqnarray*}$

Nun meine Frage, wieso kann man sowas mit dem MWS beweisen und wie geht man da vor? verwirrt

verwirrt

17.09.2011, 21:19

Cel

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Zitat:

Original von hangman
...ein Maximum. Big Laugh

Big Laugh

Der Satz sagt zunächst mal nur aus, dass es dazwischen einen Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f'(x_0) \end{eqnarray*}$ gibt. Von Maximum keine Rede.

So, wieso kann man bei deiner Aufgabe den MWS nehmen. Weil man es kann, um es lax zu sagen. Mit genug Übung "sieht" man so etwas sofort.

Wende zunächst einmal den MWS auf $\begin{eqnarray*} f(x) = e^x \end{eqnarray*}$ und das Intervall $\begin{eqnarray*} [0,x], \, x > 0 \end{eqnarray*}$ an. Der Fall x= 0 ist uninteressant, du kannst die Ungleichung dort sofort durch Einsetzen zeigen.

17.09.2011, 21:34

Cheftheoretiker

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Okay,

sei $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ dann gilt,

$\begin{eqnarray*} f(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{eqnarray*}$ also,

$\begin{eqnarray*} (e^x)'=\frac{e^x-1}{x}<br /> <br /> \Leftrightarrow e^x=\frac{e^x-1}{x} \end{eqnarray*}$

Und nun? verwirrt

verwirrt

17.09.2011, 22:27

Cel

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Und nun schätzt du die linke Seite ab. $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ ist für x > 0 größer oder kleiner als was?

17.09.2011, 22:59

Cheftheoretiker

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Wenn $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ dann gilt $\begin{eqnarray*} e^x>1 \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

17.09.2011, 23:04

Cel

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Genau! Welche Ungleichung steht also letztendlich dort?

Edit: Schreibe übrigens bei der Benutzung des MWS links nicht x, sondern y oder irgendwas anderes. Das y liegt zwischen [0,x].

17.09.2011, 23:09

Cheftheoretiker

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Gute Frage... verwirrt

verwirrt

17.09.2011, 23:17

Cel

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Nehmen wir mal alles zusammen, was wir wissen:
$\begin{eqnarray*} \frac{e^x-1}{x} = e^y > 1 \end{eqnarray*}$

Dabei x > 0, y zwischen [0,x]. So, jetzt lies mal nur die linke Seite der Unhleichungskette und die ganz rechts, was steht dann da?

17.09.2011, 23:55

Cheftheoretiker

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$\begin{eqnarray*} \frac{e^x-1}{x}>1 \end{eqnarray*}$

? verwirrt

verwirrt

18.09.2011, 00:04

Cel

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Ja, genau. Und jetzt guck noch mal deine zu zeigende Ungleichung an. Multiplizieren und addieren und so ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.09.2011, 00:16

Cheftheoretiker

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Du meinst,

$\begin{eqnarray*} \frac{e^x-1}{x}>1 \end{eqnarray*}$

Ich darf mit x multiplizieren da $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^x-1>1x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^x>1x+1 \end{eqnarray*}$

Das war der Beweis? verwirrt

verwirrt

18.09.2011, 00:28

Cel

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Ja, genau. Zusammen mit dem Fall x=0 ergibt sich die komplette Aussage.

Freude

Freude

18.09.2011, 10:14

Cheftheoretiker

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Okay, vielen Dank. So richtig verstanden habe ich aber noch nicht warum es klappt! verwirrt

verwirrt

Noch eine Frage, wieso ist der Mittelwertsatz denn so elementar wichtig?

18.09.2011, 10:27

Cel

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Hmm ... Was stört dich denn an dem Vorgehen? Stand in der Aufgabe eigentlich drin, dass du den MWS benutzen sollst? Wie gesagt, nach ein paar Jahren Mathe sieht man sofort, dass es darauf hinausläuft.

Die Exponentialfunktion ist überall differenzierbar, [0,x] ist ein Intervall, wir wählen es beliebig größer Null. Damit hätten wir alles für den MWS.

Und warum der so wichtig ist - was heißt schon wichtig? Das ist einfach ein Satz, den man zum Beispiel gerne für solche Ungleichungen nutzt.

18.09.2011, 10:58

Cheftheoretiker

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Zitat:

Original von Cel
Hmm ... Was stört dich denn an dem Vorgehen? Stand in der Aufgabe eigentlich drin, dass du den MWS benutzen sollst? Wie gesagt, nach ein paar Jahren Mathe sieht man sofort, dass es darauf hinausläuft.

Ja, sonst hätte ich auch mit vollständiger Induktion argumentieren können oder?

18.09.2011, 17:47

Cel

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Ich wüsste nicht, wie. Aufgaben mit vollständiger Induktion haben irgendwo eine natürliche Zahl drin. (Das und dies gilt für alle n aus IN). Hier sollen aber alle x > 0 bedient werden. Da kommen auch nicht-natürliche Zahlen rein.

18.09.2011, 17:54

Cheftheoretiker

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Okay, vielen Dank!

hangman! Wink

Wink

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