Basis im Bild

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Meier Auf diesen Beitrag antworten »
Basis im Bild
Meine Frage:
Ich soll folgende Aussage Beweißen bzw widerlegen:

Für jeden Vektorraum V und lineare Abbildung g: V ->V gilt: Ist {v1,v2,v3,v4} eine Basis von V so ist {f(v1),f(v2),f(v3),f(v4)} eine Basis im Bild von g.

Meine Ideen:
Also meiner Meinung nach ist diese Aussage falsch, da ich ein Gegenbeispiel finden kann. Z.B die Nullabbildung f(v)= 0 für alle v aus V.

Somit würde aus {f(v1),f(v2),f(v3),f(v4)} = {0,0,0,0} werden und dies ist laut Definition keine Basis.

Ist das so Richtig?

mfg
Meier
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

***

Was wäre denn in deinem Beispiel das Bild der Nullabbildung? Ist das nicht doch eine passende Basis dafür? Wenn nein, wieso nicht?
Meier Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm also

DAs Bild sind ja alle Werte die ich im Wertebereich treffe wenn ich in die Funktion f(x) alle Werte des Definitonsbereichs einsetze.

Also Wenn ich nun die Abbildunghabe so setze ich alle ein und müsste Null herausbekommen.

Also habe ich für jeweils die Null eingesetzt und habe herausbekommen.

Und ist keine Basis da die Vektoren nicht linear unabhängig sind

hmm?

und das Bild der Nullablidung müsste doch sein
verwirrt

Ist das so richtig
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Bild: das stimmt so nicht. Es ist wenn eine Abbildung ist, also alle Funktionswerte zusammengefasst.

Fasst man eine Basis nur als Menge von Vektoren auf, so ist eine Basis des Bildes der Nullabbildung. Diese Abbildung hilft dir in diesem Fall also nicht als Gegenbeispiel weiter.

Fasst man eine Basis als Tupel von Vektoren auf, so wäre das schon ein passendes Gegenbeispiel.

Abhängig davon, wie ihr den Begriff der Basis definiert habt, müsstest du also noch etwas weiter überlegen.
Meier Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja um eine Basis zu definieren fehlt es natürlich noch das ich zeige, dass ein Erzeugendensystem gebildet wird.

Also ist {v1,v2,v3,v4} eine Basis wenn die Vektoren Linear unabhängig sind und diese ein Erzeugersystem bilden (sprich man alle elemente eines Körpers als Linearkombination schreiben kann)

Nun wäre also das Bild der Nullabildung wenn ich alle elemente der Nullabildung einsetze (des wäre alle "0er") und dafür die "0" herausbekommen würde oder?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Was sind "alle Elemente der Nullabbildung"? verwirrt

Es ist hier gar nicht die Frage nach einem Erzeugendensystem oder nicht, vielmehr wäre es wichtig zu wissen, ob ihr eine Basis einfach als Menge von Vektoren definiert habt, oder ob ihr geordnete Basen, also Tupeln von Vektoren betrachtet.

So wäre z.B. die Menge eine Basis des , das Tupel wäre keine.
 
 
Meier Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben ersteres betrachtet, als Menge von Vektoren.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
Fasst man eine Basis nur als Menge von Vektoren auf, so ist eine Basis des Bildes der Nullabbildung. Diese Abbildung hilft dir in diesem Fall also nicht als Gegenbeispiel weiter.

***

Abhängig davon, wie ihr den Begriff der Basis definiert habt, müsstest du also noch etwas weiter überlegen.


Dann bist du mit der Nullabbildung noch nicht fertig, diese tuts in dem Fall nämlich nicht.
Meier Auf diesen Beitrag antworten »

Sie meinen, dass mich die Abbildungsvorschrift f(x) = 0 nicht weiter bringt, also müsste ich eine andere finden die mir diese Aufgabe widerlegt

sehe ich das so richtig?
Wie wäre es mit f: V -> V mit f(x) = x für x element aus K
Dann hätte ich für z.B. x=5 und die Menge wäre {5,5,5,5}..... verwirrt aber das ist doch wieder eine Basis des Bildes......

Da bin ich schon wieder in eine Sackgasse oder?

mfg
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zum zweiten Mal Forum Kloppe , heute ist scheinbar der Wurm drin.

Hab mich ein wenig zu sehr auf die Unterscheidung Mengen <-> Tupel fixiert, natürlich ist die Nullabbildung hier ausreichend.

ist natürlich keine Basis des Nullraums, da nicht linear unabhängig. Also ist es für diese Aussage auch egal, ob man eine Basis als Menge oder als Tupel von Vektoren auffasst. Die Aussage ist widerlegt.
Meier Auf diesen Beitrag antworten »

Mein gott danke,danke,danke,danke das du das sagst smile

Aber ein erzeugendensystem bilden Sie, da ich ja jedes als Linearkombination schreiben könnte oder?

mfg
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Es bildet ein Erzeugendensystem, ja.

Es sollte aber nicht sein, vielmehr bzw. in diesem Fall .
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