Gleichungssystem aufstellen

18.09.2011, 12:47	krussel89	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichungssystem aufstellen Hallo, komme bei folgender Aufgabe nicht weiter: Sie wollen eine möglichst gesunde Saftschorle aus Apfelsaft, Orangensaft und Mineralwasser herstellen: Angaben in g/100 ml Eiweiß Fett Kohlenhydrate Saftschorle 0,5 5 0,175 Apfelsaft 1 11 0,2 Orangensaft 1 9 0,5 Mineralwasser 0 0 0 Habe schon versucht mehrere Gleichungen aufzustellen, habe jedoch das Problem, dass ich nicht weiß wie ich das Mineralwasser unterbringten soll ich kann in einer Gleichung ja schlecht +0 schreiben oder geht das? Meine bisherigen versuche: x= Eiweiß y= Fett z= Kohlenhydrate Habe es jeweils auf 200 hochgerechnet 200= 1x+ 10y+0,35z (diese Gleichung beschreibt die Saftschorle) 200= 2x+22y+0,4z (Apfelsaft) 200= 2x+ 18y+1z (O-Saft) Als Lösung erhalte ich allerdings 1 0 37/20 1200 0 1 -3/20 -100 0 0 0 -400 was ja ersichtlich nicht das richtige Ergebnis sein kann Mein zweiter Ansatz: Die Werte auf 200 bezogen unter einander zu schreiben, dabei bin ich aber auch zu keinen richtigen Ergebniss gekommen und Mineralwasser habe ich wieder nicht mit einbezogen. Meine Gaußtabelle: 2 2 1 22 18 10 0,4 1 0,35 Die erste Tabelle sind die Werte des A,- die zweite des O- Saftes und die dritte Spalte giibt die Werte des idealen Saftes ein. Für jeden Lösungsansatz bin ich dankbar.
18.09.2011, 13:24	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Mischung hat die Eigenschaften $\begin{eqnarray} a\begin{pmatrix} 1 \\ 11 \\ 0,2 \end{pmatrix}+o\begin{pmatrix} 1 \\ 9 \\ 0,5 \end{pmatrix}+m\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , der Unterschied zur idealen Schorle ist also $\begin{eqnarray} a\begin{pmatrix} 1 \\ 11 \\ 0,2 \end{pmatrix}+o\begin{pmatrix} 1 \\ 9 \\ 0,5 \end{pmatrix}+m\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}-(a+o+m)\begin{pmatrix} 0,5 \\ 5 \\ 0,175 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Tipp: Der Abstand wird minimal, wenn die Länge dieses Vektors minimal wird. Wenn ich mir die Zahlen so ansehe, kann ich die Lösung erraten - das wird aber nicht verraten.
18.09.2011, 14:03	krussel89	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich fürchte ich stehe gerade auf dem Schlauch, also ich habe verstanden wie du auf die ersten drei Vektoren gekommen, bist aber den zweiten Teil verstehe ich nicht, erst schreibst du die drei Vektoren hin und dann ziehst du die ab und dahinter den Vektor der idealen Schorle? Ich wüsste jetzt nicht, wie ich das lösen sollte zumal der mineralwaasservektor ja der Nullvektor ist?
18.09.2011, 14:45	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
a,o,m kann ich beliebig wählen, das sind die variablen Volumenanteile an der Mischung. Die Summe zeigt dann, welche Eigenschaften die Mischung hat. Die Mischung hat dann das Volumen a+o+m . Also hat die ideale Schorle des Volumens a+o+m die Eigenschaften, die ich abziehe. Trifft die Mischung die ideale Schorle, ist die Differenz = 0. Wenn nicht, will ich so nahe wie möglich an das Ideal herankommen, d.h. die Differenz soll (betragsmäßig) möglichst klein werden. Noch ein Tipp: Es geht jetzt nicht darum, ein Gleichungssystem zu lösen. Du musst erst noch die zu minimierende Gleichung aufstellen. Diese enthält die Länge des Vektors. Zur Erinnerung $\begin{eqnarray} \|\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \end{eqnarray}$

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