Rang -> injektiv, surjektiv

18.09.2011, 11:00

Laren0815

Rang -> injektiv, surjektiv

Hi,

Ich habe folgende Aufgabe:

Zitat:

Gegeben ist die Matrix $\begin{eqnarray*} A=\left[ \begin {array}{cccc} 4&4&2&6\\\noalign{\medskip}-2&t&-1&-3 \\\noalign{\medskip}6& -3t&2t&9\end {array} \right] \end{eqnarray*}$ mit der reeelen Zahl $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$
a) Welchen Rang hat die Matrix A in Abhängigkeit von t?
b) Für welche Werte von t ist die lineare Abbildung, die durch die Matrix A beschrieben wird, surjektiv. Für Welche Werte von t injektiv? Begründen Sie jeweils ihre Antwort.

Meine Idee:

Ich beginne mit Gauss und komme auf diese MAtrix $\begin{eqnarray*} \left[ \begin {array}{cccc} 6&6&3&9\\\noalign{\medskip}0&t+2&0&0 \\\noalign{\medskip}0&-3\,t-6&2\,t-3&0\end {array} \right] \end{eqnarray*}$

Nun bekomme ich als Lösung $\begin{eqnarray*} t=\left\{ -2;-1,5\right\} \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} t=\left\{ -2\right\} \end{eqnarray*}$ , ist der rang 2 und für $\begin{eqnarray*} t\neq \left\{ -2\right\} \end{eqnarray*}$ ist der Rang 3

b.) Somit ist für $\begin{eqnarray*} t\neq \left\{ -2\right\} \end{eqnarray*}$ die Abbildung surfjektiv, da hier die $\begin{eqnarray*} dim(A)=rank(A) \end{eqnarray*}$

injektiv kann die Abbildung niemals werden, da für jedes t, der $\begin{eqnarray*} Kern\neq \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit?

Viele Grüße

18.09.2011, 13:01

Elvis

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Zitat:

Original von Laren0815

Nun bekomme ich als Lösung $\begin{eqnarray*} t=\left\{ -2;-1,5\right\} \end{eqnarray*}$

1. Lösung für welches Problem ?

2. Überlege nochmal, welchen Rang die Matrix für 2t=3 hat.

3. Warum der Kern von 0 verschieden sein soll, musst du beweisen.

19.09.2011, 09:49

Laren0815

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zu 1: ich bekomme 2 Lösungen für t, die den Rank der Matrix A verändern, diese sind $\begin{eqnarray*} t=\left\{ -2;1,5\right\} \end{eqnarray*}$

zu 2: sorry, muss natürlich 1,5 sein Augenzwinkern

zu 3: ich würde jetzt einfach schreiben, dass ja bekannt ist, das A nur injektiv sein kann, wenn der $\begin{eqnarray*} Kern\neq \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ , da die Matrix eine m*n Matrix ist wo n>m ist, kann der Kern niemals 0 werden.

Kommt das so ungefähr hin? Augenzwinkern

19.09.2011, 16:29

Elvis

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Ungefähr ja, aber richtig präzise ist das nicht.

a) Der Rang von A ist 3 für $\begin{eqnarray*} t\notin \{-2;1,5\} \end{eqnarray*}$ , der Rang von A ist 2 für $\begin{eqnarray*} t\in \{-1;1,5\} \end{eqnarray*}$
b) Es wäre besser, wenn du von der linearen Abbildung $\begin{eqnarray*} \phi_A \end{eqnarray*}$ sprächest und von $\begin{eqnarray*} \dim(Bild(\phi_A))=dim(\phi_A(V))=rng(A) \end{eqnarray*}$ und von $\begin{eqnarray*} Ker(\phi_A) \end{eqnarray*}$ . Eine Matrix ist nicht injektiv oder surjektiv, das sind Eigenschaften von Abbildungen. Der Fragesteller fragt ja auch nach Eigenschaften der linearen Abbildung, und nicht nach Eigenschaften der Matrix.

Dimensionssatz : Für jede lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \phi:V\to W \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} dim(V)=dim(Bild(\phi))+dim(Ker(\phi)) \end{eqnarray*}$

Tipp: Dieser Satz liefert die gewünschten Begründungen.

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