lagrange'sche multiplikatoren und parabel

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18.09.2011, 13:02	moonsymmetry	Auf diesen Beitrag antworten »
lagrange'sche multiplikatoren und parabel hiho, also gegeben ist der Parabelboen $\begin{eqnarray} x^2 + y = 1 \end{eqnarray}$ . Man bestimme mit Hilfe der Lgrange'schen Multiplikatoren die Punkte auf der Parabel die dem Ursprung am nächsten liegen. also mein ansatz: die punkte, die dem ursprung am nächsten sind sind diese punkte wo sich die parabel mit der grünen funktion $\begin{eqnarray} \sqrt{ x^2} \end{eqnarray}$ schneidet. oder? wie macht man das jetzt mit den lagr. multiplikatoren? bitte um hilfe
18.09.2011, 13:16	ThomasFF	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lagrange'sche multiplikatoren und parabel Nein, dein Ansatz gefällt mir nicht (ich habe ihn nur überflogen). Du musst doch einfach nur das $\begin{eqnarray} \\|(x,y)\\| = \sqrt(x^2+y^2) \end{eqnarray}$ bezüglich der Nebenbedingungen minimieren. Ich würde vorschlagen: $\begin{eqnarray} \min_{(x,y) \in \mathbb R^2} x^2+y^2 \end{eqnarray}$ unter den NB: $\begin{eqnarray} x^2+y-1 = 0 \end{eqnarray}$
18.09.2011, 13:40	moonsymmetry	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lagrange'sche multiplikatoren und parabel hm, also das hauptproblem bei dieser aufgabe ist für mich, zu erkennen was hier die nebenbedingung ist. wie kommst du plötzlich auf $\begin{eqnarray} \sqrt{x^2 + y^2} \end{eqnarray}$ ? und wieso sielt der parabelbogen die rolle der nebenbedingung? lg
18.09.2011, 13:44	ThomasFF	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lagrange'sche multiplikatoren und parabel Ich möchte $\begin{eqnarray} \sqrt{x^2 + y^2} \end{eqnarray}$ minimieren, weil das gerade der Abstand des Punktes (x,y) vom Ursprung ist! Der Parabelbogen kommt ins spiel weil ich sage, das (x,y) was minimal sein soll, soll auf jedenfall x²+y=1 genügen, d.h. die Nebenbedingung ist gerade x²+y=1 bzw. x²+y-1=0.
18.09.2011, 14:00	moonsymmetry	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lagrange'sche multiplikatoren und parabel danke okay und ich kann die wurzel hier auch weglassen? oben hattest du ja geschrieben ich muss das minumum von $\begin{eqnarray} x^2 + y^2 \end{eqnarray}$ suchen. demnach würde ich sagen: $\begin{eqnarray} <br /> f(x,y) = x^2 +y^2 - \lambda (x^2+y-1) \end{eqnarray}$ ?
18.09.2011, 14:03	ThomasFF	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lagrange'sche multiplikatoren und parabel Ja, die Wurzel kann man sich beim bestimmen der Stelle, an der das Minimum angenommen wird, sparen. Wenn du den Wert haben möchtest brauchst die Wurzel aber wieder. Zur Langrange-Funktion würde ich eher: $\begin{eqnarray} L(x,y,\lambda)= x^2 +y^2 + \lambda (x^2+y-1) \end{eqnarray}$
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18.09.2011, 14:08	moonsymmetry	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lagrange'sche multiplikatoren und parabel ah gut, bevor ich anfange zu rechnen, noch eine frage die ich schon im letzten post stellen wollte. manchmal addiert man denlagrange term und manchmal substrahiert man ihn. worauf kommt es hier an. bzw warum hast du aus meinem - ein + gemacht? EDIT: hängt das davon ab ob ich ein minimierungs oder ein maximierungsproblem habe?
18.09.2011, 14:16	ThomasFF	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lagrange'sche multiplikatoren und parabel Hallo, ich hab die Herleitung der Lagrange-Multiplikator-Methode jetzt nicht mehr so ganz im Kopf. Ich kenne es nur mit +.
18.09.2011, 14:34	moonsymmetry	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lagrange'sche multiplikatoren und parabel okay dann halt mal $\begin{eqnarray} f(x,y \lambda) = x^2 + y^2 + \lambda (x^2 + y -1) = x^2 + y^2 + \lambda x^2 + \lambda y - \lambda \end{eqnarray}$ zunächst bilde ich die partiellen ableitungen: $\begin{eqnarray} f_x = 2x + 2 \lambda x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_y = 2y + \lambda \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_{\lambda} = x^2 + y -1 \end{eqnarray}$ sind drei gleichungen mit drei unbekannten: 1: $\begin{eqnarray} 2x + 2 \lambda x = 0 \end{eqnarray}$ 2: $\begin{eqnarray} 2y + \lambda = 0 \end{eqnarray}$ 3: $\begin{eqnarray} x^2 + y -1 = 0 \end{eqnarray}$ 1: $\begin{eqnarray} 2x = -2 \lambda x \end{eqnarray}$ //x wegkürzen $\begin{eqnarray} 2 = -2 \lambda \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda = -1 \end{eqnarray}$ 2: $\begin{eqnarray} 2y - 1 = 0 \rightarrow y = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ 3: $\begin{eqnarray} x^2 + \frac{1}{2} -1 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^2 - \frac{1}{2} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^2 = \frac{1}{2} \rightarrow x = \sqrt{ \frac{1}{2} } \end{eqnarray}$ hmmm das kann aber nicht stimmen
18.09.2011, 16:10	ThomasFF	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lagrange'sche multiplikatoren und parabel Warum kann das nicht sein? Ich hab mal die Menge x²+y-1=0 geplottet und das ist doch sehr realistisch. PS: Du hast $\begin{eqnarray} x = - \sqrt{ \frac{1}{2} } \end{eqnarray}$ vergessen.
18.09.2011, 16:52	moonsymmetry	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lagrange'sche multiplikatoren und parabel hm stimmt eigentlich, wobei ich von meinem x und y nochmal die wurzel nehmen muss, weil ich sie ja oben weggelassen habe, oder?
18.09.2011, 16:57	ThomasFF	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lagrange'sche multiplikatoren und parabel Ne, musst du für die Punkte nicht. Wenn dir das mit dem Wurzel weglassen zu schnell ging, kannst du sie auch mal dalassen und nochmal rechnen. Kommt das gleiche raus. Warum kannst du dir ja mal überlegen.

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