Unterräume |
| 26.12.2006, 21:56 | Butcher3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Unterräume ich bin gerade dabei, dass Linerare Algebra I Skript zu wiederholen bzw. versuche ich es endlich mal zu verstehen, aber bei den linearen Unterräumen bleibe ich jedesmal hängen. Was ein Unterraum an sich ist, habe ich schon verstanden. Bspw. ist ja ein Gerade in R³ ein Unterraum nicht wahr? Nun geht es aber bspw. um folgende Aussage: Sind U1 und U2 zwei lineare Unterräume, so ist auch ihr Durchschnitt U1 ∩ U2 ein linearer Unterraum. Die Vereinigung U1 \bigcup U2 ist i.A. kein linearer Unterraum. Wie hat man sich das vorzustellen? Warum ist das so? Einen Beweis gibt es dazu auch, aber auf den würde ich niemals von alleine kommen! Kann mir da jemand weiterhelfen und das anschaulich erklären! Vielen lieben dank |
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| 26.12.2006, 22:31 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Im Allgemeinen ist das wohl nicht besonders anschaulich. Am besten kannst du es dir vielleicht geometrisch vorstellen, beispielsweise im : Echte Teilräume sind hier alle Ebenen durch den Ursprung, alle Geraden durch den Ursprung und der Ursprung alleine. Die Schnittmengen zweier (unterschiedlicher) solcher Ebenen ist eine Ursprungsgerade (also auch ein Teilraum), die Schnittmengen einer solchen Ebene mit einer Ursprungsgeraden (nicht in der Ebene) ist der Ursprung, genauso die Schnittmenge zweier solcher Geraden. Auch im kannst du sehen, dass die Vereinung zweier unterschiedlicher Ebenen keine Ebene, Gerade oder Punkt mehr sein muss und daher auch kein Teilraum.
Eigentlich musst du nur wissen, was ein Teilraum ist und was der Schnitt zweier Mengen ist. Jedes Element aus dem Schnitt ist sowohl in U1 als auch in U2 und da diese Teilräume sind, sind auch alle Linearkombinationen von Elementen aus dem Schnitt wieder sowohl in U1 als auch in U2 und damit im Schnitt. Das ist es wiederum, was einen Teilraum ausmacht. Der Beweis ist also eigentlich ziemlich straightforward, einfach nur das anwenden, was man weiß. Ein bisschen experimentieren ist halt dabei, einfach mal drauflosfolgern; mit ein bisschen Übung sieht man bei solchen einfachen Beweisen bald auch schnell, in welche Richtung es gehen muss. |
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| 27.12.2006, 20:30 | Butcher3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielen Dank für deine Antwort, du hast es mir eigentlich schön anschaulich erklärt und ich kann mir nun auch etwas darunter vorstellen. Wenn ich mal wieder fragen zum Skript habe werde ich sie hier posten. Die Beweistechnik was du beschrieben hast macht ebenfalls Mut, hoffe mal dass mir schon bald auch so etwas gelingen wird 
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