Orthogonale Ebenen

18.09.2011, 15:18	Chrisherr	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonale Ebenen Meine Frage: Meine Frage lautet wie man auf die Gleichung einer Ebene F kommt, die durch einen Punkt P orthogonal zu zwei weiteren Ebenen ist ( E1 und E2). Meine Ideen: - E1 und E2 sind in Koordinatenform oder Paramaterform angegeben. - P ist ein vorgegebener Punkt (Hier: P(3\|-1\|4)). P.S. Es sind mehrere Unteraufgaben, deshalb gebe ich die Form von E1 und E2 nicht an, falls möglich bitte nur allg. erklären, ein Danke im vorraus. Und ich habe keinen blassen schimmer wie ich hier anfangen soll. LG.
18.09.2011, 15:31	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur Erinnerung: Die Normalenvektoren von E1 und E2 stehen bereits hübsch senkrecht auf ihren Ebenen.
18.09.2011, 15:41	Chrisherr	Auf diesen Beitrag antworten »
Also sind die Normalenvektoren durch den Punkt P die "Spannvektore" von der ebene F oder?
18.09.2011, 16:02	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, sind sie. Du kannst es selbst ausprobieren, indem Du den Normalenvektor der Ebene F aufstellst und mittels Skalarprodukts die Orthogonalität zu E1 und E2 feststellst.
18.09.2011, 17:03	Chrisherr	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Erklärung in der Theorie blick ich, aber ich schaff die Aufgabe einfach nicht. Könntest du mir ein beispiel grob lösen? Wenn ja ... : Die Ebene F durch den Punkt P(3\|-1\|4) ist orthogonal zu den Ebenen E1 und E2. Bestimmen sie die Gleichhung von F. a) $\begin{eqnarray} <br /> E_(1) : 2x_{1} - x_{2} + 3* x_(3) = 19<br /> <br /> E_(2) : 2x_{1} + x_{2} - x_(3) = 1<br /> \end{eqnarray}$
18.09.2011, 17:10	Chrisherr	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab jetzt bisher die Schnittgerade berechnet der Ebenen E1 und E2....wie mach ich weiter?
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18.09.2011, 17:11	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Aufstellen der Parametergleichung der Ebene F ist eigentlich nun nur noch reine Schreibarbeit. Du hast einen Punkt gegeben (damit dann auch den Stützvektor), und zwei Spann-(bzw. Richtungs-) vektoren. Die Normalenvektoren von E1 und E2 kannst Du direkt aus den Koordinatengleichungen ablesen, für E1: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ edit zu Deinem letzten Beitrag: Schnittgeraden werden nicht benötigt.
18.09.2011, 17:19	Chisherr	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die Lsg: $\begin{eqnarray} F: x = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} + s* \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
18.09.2011, 17:24	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, stimmt.
18.09.2011, 17:28	Chrisherr	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich seh gerade bei der nächsten Aufgabe, dass dieses Mal die Parameterdarstellung gegeben ist, wie bestimme ich hier die Normalenvektoren?
18.09.2011, 19:53	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Da gibt es eine Fülle von Möglichkeiten. Du solltest in Deine Unterlagen schauen, wie ihr das in der Schule gemacht habt und welche Möglichkeiten ihr benutzen dürft. Ich empfehle das Kreuzprodukt, alternativ kann der Normalenvektor auch über ein Gleichungssystem bestimmt werden. Guckst Du hier.

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