Isomorphie mit Hauptsatz endlich erzeugter Gruppen

18.09.2011, 15:47

Zitrone21

Isomorphie mit Hauptsatz endlich erzeugter Gruppen

Hallo zusammen,
ich wiederhole gerade eine Aufgabe meiner letzten Algebra Klausur, die aus einem Gedächtnisprotokoll entstanden ist:
Es ist eine Aufgabe zur Gruppenisomorphie mit Hauptsatz der endlich erzeugten abelschen Gruppen und dem Chinesischen Restsatz

Wandeln Sie die Gruppe in eine Darstellung des Hauptsatzes der endlich erzeugten abelschen Gruppe um, und geben sie dabei t, sowie einen Erzeuger der Gruppe an. (Es kann sein, das hier nur nach Erzeugern gefragt wurde, wenn die Gruppe einelementig erzeugt werden kann)
a) $\begin{eqnarray*} G \cong \mathbb Z / 12 \mathbb Z \times \mathbb Z / 5\mathbb Z \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} G \cong \mathbb Z / 12 \mathbb Z \times \mathbb Z / 18\mathbb Z \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} G \cong V \end{eqnarray*}$ wobei V die Kleinsche Vierergruppe ist

Bei uns wurde für den Hauptsatz zusätzlich $\begin{eqnarray*} d_i | d_j \forall i<j \end{eqnarray*}$ gefordert.

Ansatz:
a) $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 12 \mathbb Z \times \mathbb Z / 5\mathbb Z \cong \mathbb Z / 3\mathbb Z \times \mathbb Z / 4\mathbb Z \times \mathbb Z / 5 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ nach chinesischem Restsatz
$\begin{eqnarray*} \cong \mathbb Z / 60 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ wieder nach chinesischem Restsatz
Also t=1.
Da $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 60 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ einelementig erzeugt ist, muss auch $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 12 \mathbb Z \times \mathbb Z / 5\mathbb Z \end{eqnarray*}$ einelementig erzeugt sein und zwar von (1,1)

b) $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 12 \mathbb Z \times \mathbb Z / 18\mathbb Z \cong \mathbb Z / 3\mathbb Z \times \mathbb Z / 4\mathbb Z \times \mathbb Z / 2 \mathbb Z\times \mathbb Z / 9 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ nach chinesischem Restsatz
$\begin{eqnarray*} \cong \mathbb Z / 6 \mathbb Z \times \mathbb Z / 36 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ wieder nach chinesischem Restsatz
Also t=2
Da 6 und 36 nicht teilerfremd sind, gibt es keinen einelementigen Erzeuger, oder?

c) nach Vorlesung ist die kleinsche Vierergurppe isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 2 \mathbb Z \times \mathbb Z / 2\mathbb Z \end{eqnarray*}$ (t=2) und mit Gruppentafel sieht man, dass sie auch nicht einelementig erzeugt ist.

Ist das so richtig?

18.09.2011, 17:09

jester.

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Die Isomorphietypen hast du richtig angegeben. Eine Gruppe ist genau dann von einem Element erzeugt, wenn $\begin{eqnarray*} t=1 \end{eqnarray*}$ (du hast eigentlich nicht gesagt, was $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ sein soll und ich möchte bezweifeln, dass dies eine Standardbezeichnung ist, aber ich vermute, dass es das gleiche $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ wie hier ist). Eine Gruppe mit $\begin{eqnarray*} t=1 \end{eqnarray*}$ nennt man auch zyklische Gruppe.

19.09.2011, 12:12

Zitrone21

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Dank dir für deine Bestätigung =)

Zitat:

Die Isomorphietypen hast du richtig angegeben

Zitat:

(du hast eigentlich nicht gesagt, was $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ sein soll und ich möchte bezweifeln, dass dies eine Standardbezeichnung ist, aber ich vermute, dass es das gleiche $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ wie hier ist).

Ja, das t soll das aus dem Wikipedia-Artikel sein. Deswegen hatte ich ihn verlinkt.

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