Wert der Reihe bestimmen

26.12.2006, 22:32

SilverBullet

Wert der Reihe bestimmen

So eine Aufgabe will ich heute noch durchgehen scheint jedoch kompliziert zu sein.

Aufgabe :
Bestimmen sie den Wert der Reihe, falls sie konvergiert :

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac {1}{k(k+1)(k+2)} \end{eqnarray*}$

Ansatz :
$\begin{eqnarray*} \frac {1}{k(k+1)(k+2)} = \frac {a}{k(k+1)} + \frac {b}{(k+1)(k+2)} \end{eqnarray*}$

Also es fängt ja schon am Ansatz an. Partialbruchzerlegung hatten wir nicht gemacht und wenn ich die komplette Gleichung ausklammer und auflöse komme ich nur auf :

1 = k²(k²+k+4)

Also das wird wahrscheinlich total falsch sein.

Wäre super wenn mir jmd erklären könnte was ich bei dieser Aufgabe überhaupt machen muss ?
Wert der Reihe ist ja der Grenzwert aber warum sind im Anatz die Variablen a und b vorhanden ?

Oder soll das heißen ich muss die Gleichung im Ansatz nach a und b auflösen ?

26.12.2006, 22:41

sqrt(2)

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Dass die Reihe konvergiert, siehst du schnell, denn $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k(k+1)(k+2)} \end{eqnarray*}$ ist stets kleiner als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^3} \end{eqnarray*}$ , was in der Summe konvergiert.

Nach einer Teleskopsumme sieht es schon aus, das stimmt. Ein Ansatz für eine Partialbruchzerlegung wäre

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k(k+1)(2+2)}=\frac{A}{k}+\frac{B}{k+1}+\frac{C}{k+2} \end{eqnarray*}$ .

edit: Ja, eine Teleskopreihe passt. Wenn du es nicht sofort siehst, bedenke, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}=\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x} \end{eqnarray*}$ .

26.12.2006, 23:09

SilverBullet

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Zitat:

Ok aber der Wert muss ja erstmal bestimmt werden.

Und damit die Bestimmung des Wertes überhaupt irgendwie klappt, wurde ja der Anatz gegeben nicht wahr ?

Zitat:

edit: Ja, eine Teleskopreihe passt. Wenn du es nicht sofort siehst, bedenke, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}=\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x} \end{eqnarray*}$ .

Bekomm das immer noch nicht auf die Form unglücklich

Was genau muss ich denn weiter damit machen ? Ich muss es doch dann nach A,B und C auflösen, wieso soll mir das etwas über den Grenzwert sagen?

Sorry für die vielen Fragen aber ich will die Aufgabe unbedingt verstehen Big Laugh

Mfg
Marc

26.12.2006, 23:21

sqrt(2)

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Zitat:

Original von SilverBullet
Ok aber der Wert muss ja erstmal bestimmt werden.

Nein, bevor du dir die Mühe machst, ist es sinnvoll zu überlegen, ob sie überhaupt konvergiert.

Zitat:

Original von SilverBullet
Was genau muss ich denn weiter damit machen ?

http://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruc...ientenvergleich

Zitat:

Original von SilverBullet
wieso soll mir das etwas über den Grenzwert sagen?

http://de.wikipedia.org/wiki/Teleskopsumme

26.12.2006, 23:40

SilverBullet

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Meinste ich darf denn mit Teleskopsummen arbeiten? In der Vorlesung wurde das nicht erwähnt. Oder ist es etwas so allgemeines das dies vorrausgesetzt ist ?

26.12.2006, 23:43

20_Cent

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wenn du die Teleskopsumme gefunden hast, dann fällt ja ganz viel weg, und es bleiben ein paar Terme übrig. Dann kannst du mit Induktion beweisen, dass die Summe bis N immer gleich diesen Resttermen ist, und dann einfach die Summe ersetzen.
Anschließend den Grenzwert N gegen unendlich bilden.
mfG 20

27.12.2006, 00:11

SilverBullet

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Also ich hab es erst hiermit probiert :

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k(k+1)(2+2)}=\frac{A}{k}+\frac{B}{k+1}+\frac{C}{k+2} \end{eqnarray*}$ .

Aber das wird extrem lang und da fällt auch nicht viel Weg unglücklich

Dann hab ich es einfach mal so gemacht :
$\begin{eqnarray*} \frac {1}{k(k+1)(k+2)} = \frac {a}{k(k+1)} + \frac {b}{(k+1)(k+2)} \end{eqnarray*}$

Erweitert mit k(k+1)(k+2) liefert :

$\begin{eqnarray*} A(k+2) + Bk = 1 \end{eqnarray*}$

bissle umgeformt : $\begin{eqnarray*} k(A+B) = 1 - 2A \end{eqnarray*}$

dann für k = 0 eingesetzt dann erhalte ich für $\begin{eqnarray*} A = \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

Das A = 0.5 wiederum eingesetzt liefert :

k(0.5 + B) = 1 - 1
und somit ist mein B = -0.5k

Hab das jetzt alles in meine Ursprungsgleichung eingesetzt :

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{1(1+1)(1+2)} = \frac {0.5}{1(1+1)} + \frac {-0.5}{(1+1)(1+2)} \end{eqnarray*}$

Also mit k = 1, A=0.5, B= -0.5

Ergebnis : 1/6 = 1/6

Scheint also für k = 1 zu stimmen. Das muss ich wie du geschrieb hast jetzt noch mit dem Induktionssschritt machen oder ?

27.12.2006, 00:29

sqrt(2)

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Zitat:

Original von SilverBullet
Also ich hab es erst hiermit probiert :

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k(k+1)(2+2)}=\frac{A}{k}+\frac{B}{k+1}+\frac{C}{k+2} \end{eqnarray*}$ .

Aber das wird extrem lang und da fällt auch nicht viel Weg unglücklich

Es wird nicht viel länger als das, was du hast, und wenn du es richtig machst (siehe mein Tipp oben), fällt sehr wohl viel weg. Dies nur als Nebenbemerkung, denn:

Zitat:

Original von SilverBullet
Dann hab ich es einfach mal so gemacht :
$\begin{eqnarray*} \frac {1}{k(k+1)(k+2)} = \frac {a}{k(k+1)} + \frac {b}{(k+1)(k+2)} \end{eqnarray*}$

Dieser Ansatz funktioniert zwar hier, aber nicht im Allgemeinen. Im Allgemeinen bräuchest du einen linearen Term im Zähler, wenn du einen quadratischen im Nenner hast.

27.12.2006, 01:09

SilverBullet

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Also ich bin immer noch nicht wirklich zufrieden.

Ich hab gezeigt das die Partialbruchzerlegung stimmt gut.
Aber die eigentliche Aufgabe ist doch zu zeigen, dass es einen Grenzwert gibt.

Und die ganze Partialbruchzerlegung samt Induktion soll doch nur dazu dienen, dass ich den Grenzwert überhaupt bestimmen kann oder wie muss ich das verstehen ?

Wenn dem so sein solle wie mache ich das mit dem Grenzwert ?

Muss ich da nun irgendwie das Cauchy-Kriterium für Reihen drauf anwenden ?

Greetz
Silver

27.12.2006, 01:49

sqrt(2)

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Zitat:

Original von SilverBullet
Aber die eigentliche Aufgabe ist doch zu zeigen, dass es einen Grenzwert gibt.

Dass es ihn gibt, wissen wir schon (meine Argumentation mit der Majorante oben), welcher er ist, interessiert uns.

Zitat:

Original von SilverBullet
Und die ganze Partialbruchzerlegung samt Induktion soll doch nur dazu dienen, dass ich den Grenzwert überhaupt bestimmen kann oder wie muss ich das verstehen ?

So, ja.

Zitat:

Original von SilverBullet
Wenn dem so sein solle wie mache ich das mit dem Grenzwert ?

Nun gehen wir nach dem Wikipediaartikel vor und betrachten allgemein eine Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n a_k-a_{k+1} \end{eqnarray*}$ ; mit $\begin{eqnarray*} a_k=\frac{1}{2k(k+1)} \end{eqnarray*}$ hast du ja eine solche Reihe hier vorliegen. Diese Summe hat den Wert $\begin{eqnarray*} a_1-a_{n} \end{eqnarray*}$ , das wollte Oli, dass du es mit Induktion beweist, aber vielleicht reicht dir ja auch die Argumentation mit dem Ausschreiben der Summe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n a_k-a_{k+1} &=& (a_1-a_2)+(a_2-a_3)+...+(a_{n-1}-a_n) \\ &=& a_1-a_2+a_2-a_3+a_3-...-a_{n-1}+a_{n-1}-a_n \\ &=& a_1-a_n \end{eqnarray*}$

Wenn wir jetzt den Grenzübergang $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ betrachten, kommen wir auf

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n a_k - a_{k+1} = \lim_{n\to\infty} a_1 - a_n = a_1 - \lim_{n\to\infty} a_n \end{eqnarray*}$ .

Und siehe da, da hast du deinen Grenzwert.

Zitat:

Original von SilverBullet
Muss ich da nun irgendwie das Cauchy-Kriterium für Reihen drauf anwenden ?

Dieses Kriterium sagt dir nur, dass es diesen Grenzwert gibt, nicht, welcher er ist.

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