Gibt es einen Beweis für die Unendlichkeit der natürlichen Zahlen? |
| 18.09.2011, 19:51 | Carola27,5 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Gibt es einen Beweis für die Unendlichkeit der natürlichen Zahlen? Ich bin kein Mathematiker, daher kenn ich mich in der Mathematik nicht sehr gut aus. Ich studiere gegenwärtig Philosophie. Für eine Hausarbeit über den Philosophen Pascal könnte ich etwas Hilfe gebrauchen. Pascal behauptet das die Zahlen unendlich sind. Dies glaube ich ihm, da es mir intuitiv so erscheint. Kann man das überhaupt beweisen? Wie könnte man dies formal beweisen? Vielleicht kann mir dies jemand von euch vorrechnen oder mir eine entsprechende Quelle nennen in der dies bewiesen wird. Danke für alle Antworten. Meine Ideen: Eventuell irgendwie mittels der Vollständige Induktion? |
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| 18.09.2011, 20:06 | chrizke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also, ich geh mal davon aus, dass du, wie im Titel angegeben hast, die natürlichen Zahlen meinst. Schauen wir uns doch mal an, wie diese über die Peano-Axiome definiert sind:
Da steht unter 2. jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger. Jetzt nimm mal an, es gäbe nur endlich viele natürliche Zahlen. Wie ist das mit der Nachfolgerbedingung vereinbar, bzw. nicht? |
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| 18.09.2011, 20:46 | Carola27,5 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Etwas kompliziert das alles. Ich habe dieses Thema als Gast erstellt, da ich jedoch als Gast keine Antworten schreiben darf, habe ich mich nun mit dem Namen Carola 27,5 registriert. Vielen danke chrizke für die Antwort. Mathematik finde ich recht kompliziert aber sehr interessant. Pascal sprich nur von Zahlen daher kann ich nur vermuten welche Zahlen er meint. Ich denke jedoch er meint die natürlichen Zahlen. Sind denn nicht alle Zahlenarten unendlich? Das was du beschreibst kling sehr logisch, jedoch gilt dies nicht als Beweis dafür das die natürlichen Zahlen unendlich sind oder? Gibt es hierfür eine formalen Beweis? |
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| 18.09.2011, 20:48 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
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| 18.09.2011, 20:50 | ThomasFF | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo Carola, du studierst doch Philosophie, da solltest du auch flink sein mit Logik. Also, du willst zeigen, dass die natürlichen Zahlen unendlich sind. Dabei haben wir die natürlichen Zahlen über Axiome definiert. Beweis der Behauptung: Gegenannahme: Seien die natürlichen Zahlen endlich und N die größte natürliche Zahl. N ist aber eine natürliche Zahl und besitzt nach dem Axiom 2 einen Nachfolger N'. Dies ist im Widerspruch zu "N die größte natürliche Zahl". |
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| 18.09.2011, 21:47 | Carola27,5 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo ThomasFF Danke für die Antwort aber deine Argumentation hilft mir nicht weiter. Ich suche vielmehr so etwas wie einen Beweis durch vollständige Induktion. So etwas muss sich doch auch formal zeigen lassen oder nicht? |
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| 18.09.2011, 22:03 | chrizke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Auf Grund der reinen Definition über die Axiome können wir noch nicht von einer größten Zahl sprechen, ohne eine Ordnungsrelation zu definieren. Zugegebenermaßen ist das nicht schwierig, aber rein auf Basis der Axiome müsste der Beweis anders aussehen. @Carola, der von Thomas gegebene Beweis ist doch formal. Ok, mit dem kleinen Fehler dass wir noch keine Ordnungsrelation haben. Es über Induktion machen zu wollen, halte ich für kritisch. Denn die Induktion funktioniert ja nur eben weil es unendlich viele natürliche Zahlen, die jeweils einen Nachfolger haben, darauf basiert ja der Induktionsschritt n->n+1. Ein nur auf den Axiomen beruhender Beweis könnte so aussehen: Angenommen es gäbe nur endlich viele, voneinander verschiedene Natürliche Zahlen. Nach 2. hat jede dieser Zahlen einen Nachfolger, der wieder in der Menge der natürlichen Zahlen enthalten sein muss. Da die 0 nach 3. kein Nachfolger ist, müssen zwei Zahlen den gleichen Nachfolger haben. Diese Zahlen sind aber unterschiedlich, obwohl sie nach Axiom 4. ja gleich sein müssten. Somit haben wir einen Widerspruch erzeugt und folgern daraus, dass es unendlich viele Zahlen geben muss. |
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| 18.09.2011, 22:18 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oder in "kurz": Die Abbildung ist wohldefiniert und injektiv (Dies ist wirklich eine triviale Folgerung aus den Axiomen). Wäre endlich, so wäre also auch bijektiv, folglich wäre die 0 ein Nachfolger. Widerspruch! Fazit: Die Unendlichkeit der natürlichen Zahlen ist nach den Peanoaxiomen eigentlich trivial. Aber: Gerade da du aus der Philosophie kommst, macht es in der Tat Sinn, sich zu fragen, ob es überhaupt natürlichen Zahlen gibt. Also existiert überhaupt eine Menge, die die Peano-Axiome erfüllt? Und hier gibt es einen interessanten (auch leicht zu beweisenden) Satz aus der ZF-Mengenlehre, der besagt: Es gibt genau dann eine unendliche Menge, wenn es die natürlichen Zahlen (also eine Peano-Algebra) gibt. Sprich die natürlichen Zahlen sind sehr wohl abhängig von einem Axiom der Mengenlehre, welches die Existenz einer unendlichen Mengen garantiert. Wenn man das nicht hat, so wird man auch die natürlichen Zahlen nicht konstruieren können und schon gar nicht deren Unendlichkeit. |
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| 18.09.2011, 22:20 | Carola27,5 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Alles klar DANK für eure Hilfe. |
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| 19.09.2011, 08:45 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn man beweisen will, dass die Menge der natürlichen Zahlen oder eine andere Menge unendlich ist, solte man erst mal definieren, was man unter unendlich verstehen will. Sonst sind die Beweisversuche sinnlos. Ganz problemlos geht das mit der Dedekindschen Definition: Eine Menge M heißt unendlich, falls es eine Bijektion zwischen M und einer echten Teilmenge von M gibt. Solche Bijektionen lassen sich für die natürlichen Zahlen leicht angeben. Man kann unendlich auch als nicht endlich definieren. Dann muss man vorher endlich definieren. Zum Beispiel: Eine Menge M heißt endlich, falls es ein gibt, sodass sich M bijektiv auf die Menge abilden lässt, wobei man letztere Menge vorher noch sauber definieren muss. |
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