Homotopie

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Homotopie
Meine Frage:
Gegeben sei der Integrationsweg .

(1) Zeige, daß in nullhomotop ist.

(2) Zeige, daß nicht nullhomotop in ist, indem das Integral betrachtet wird.

(3) Finde eine Kurve , die in nicht frei homotop zu ist und nicht konstant ist.

Meine Ideen:
(1)

Zitat:
Königsberger, Analysis 2, S. 192

Eine geschlossene Kurve in , die in zu einer Punktkurve frei homotop ist, nennt man nullhomotop in X.


Um die Aufgabe zu lösen, muss ich jetzt vermutlich so eine freie Homotopie angeben, also eine stetige Abbildung

mit



,

wobei ich mit die Punktkurve meine, die 0 ist, sprich, ich habe mir überlegt, daß man auf den Punkt 0 zusammenziehen könnte.


Edit:

Mein Einfall zu (1) ist

.


Meine Rechnung zu (2) ergibt .
Ist das schon der Nachweis, daß es sich nicht um Nullhomotopie handelt?
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

zu 1. ja das ist eine geeignete Homotopie
zu 2. ja das reicht, vorausgesetzt du weisst wieso? Aber Homotopieinvarianz des Kurvenintegrales sollte entsprechend bekannt sein.
zu 3. hier kannst du sehr viele angeben. Interessant wären vielleicht Homotopien, welche aussehen wie jedoch nicht zu dieser homotop sind. Der Nachweis, dass diese nicht homotop sind sollte dann wie bei 2.funktionieren.

mfg
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, sergej88! Wink

Danke für Deine Antwort, die ich mal durchgehe:


Zitat:
Original von sergej88

zu 1. ja das ist eine geeignete Homotopie


Endlich mal eine richtige Idee von mir.

Zitat:
original von sergej88
zu 2. ja das reicht, vorausgesetzt du weisst wieso?


Da würde ich sagen: Cauchyscher Integralsatz, der ja u.a. besagt:

Zitat:
Königsberger, "Analysis 2", S. 201
Für jede holomorphe Differenzialform auf einer offenen Menge gelten die Aussagen:

(i) Sind und homotope Integrationswege in U mit gemeinsamem Anfangspunkt und gemeinsamem Endpunkt oder frei homotope geschlossene Integrationswege, so gilt

.

Ist ein nullhomotoper Integrationsweg in U, so gilt .

[...]



(i) bezeichnet ja die Homotopieinvarianz.

Bei dieser Aufgabe ist (im Sinne des zitierten Satzes):

offen und ist die im Zitat erwähnte holomorphe Differentialform (denn ist holomorph, da in Zähler und Nenner je holomorphe Funktionen stehen).

Also gilt der Satz und demnach müsste, wenn Nullhomotopie vorläge, das zu betrachtende Intervall identisch 0 sein, was es nicht ist.
Daher liegt keine Nullhomotopie vor.


Zitat:
Original von sergej88
zu 3. hier kannst du sehr viele angeben. Interessant wären vielleicht Homotopien, welche aussehen wie jedoch nicht zu dieser homotop sind. Der Nachweis, dass diese nicht homotop sind sollte dann wie bei 2.funktionieren.


Danke, ich probiere mal was und poste es dann.



LG & einen schönen Sonntagabend!
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Hier ist noch mein Nachtrag zu (3).

Ich habe mir überlegt, daß man vllt. folgende Kurve nehmen könnte:

,

sprich die Kurve, die im Uhrzeigersinn verläuft, ansonsten aber mit (von der Form) übereinstimmt.


Jedenfalls würde dann m.E. gelten:



und das bedeutet ja, daß keine freie Homotopie vorliegt.


Ginge das?

Ich bin mir da nicht so sicher.
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Kurve geht, diese läuft jedoch auch im Gegenuhrzeigersinn. Diese wird ja nur an der imaginären Achse gespiegelt.

Ich dachte eher an die Form

diese Wege sind relativ schön und können dazu benutzt werden die Fundamentalgruppe von zu bestimmen.

mfg
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sergej88
Die Kurve geht, diese läuft jedoch auch im Gegenuhrzeigersinn. Diese wird ja nur an der imaginären Achse gespiegelt.


Achja, richtig.

Zitat:
Original von sergej88
Ich dachte eher an die Form


Ich habe gerade versucht, mir so einen Weg aufzumalen, z.B. für n=2.

Habe das aber nicht hinbekommen. Wie sieht so ein Weg aus?
 
 
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Die SPur sieht genauso aus wie die des Ursprünglichen Weges.

Der Unterschied ist, dass n mal um den Ursprung läuft. Entsprechend die Windungszahl n besitzt. Damit lassen sich alle Wege bis auf Homotopie auf einen Weg dieser Form zurückführen.

mfg
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Das bedeutet

?

Da die Integrale nicht übereinstimmen, liegt also keine Homotopieinvarianz vor.
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Für die erste Gleichung brauchst du jedoch, dass f eine Singularit\"at in 0 hat. Ansonsten sind die ja homotop zueinander wie der erste Teil gezeigt hat.

mfg
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Achja, sonst könnte man ja beide Kurven auf den Nullpunkt zusammenziehen und die Integrale wären wieder identisch.

Wenn ich also dazuschreibe: "[...], wobei f in 0 eine Singularität habe", dann ist es okay und richtig?




Aber ist denn nicht der Punkt 0 bei (3) ohnehin aus dem Spiel?
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja aber zum Nachweis, dass diese nicht Homotop sind musst du ja eine Funktion nehmen, welche auch die nötigen Voraussetzungen erfüllt. z.b
mfg
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Also:



nicht homotop

Korrekt?
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau wobei

dazugeschrieben besser aussieht.

mfg
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dann habe ich auch verstanden, was Du meintest.

Besten Dank!
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