Grenzwert einer (geometrischen) Reihe bestimmen

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18.09.2011, 20:11	Taladan	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert einer (geometrischen) Reihe bestimmen Hallo, ich grübel heute schon verzweifelt bei einer alten Klausuraufgabe. Von folgendender Reihe soll der Grenzwert bestimmt werden. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{1}{3^n} +\frac{1}{n(n+1)} ) \end{eqnarray}$ . Man spittet die Summanden auf und weißt darauf hin das der erste eine Geometrische Reihe sein soll und dann rechnet man vor, das $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{3^n} = \frac{1}{1-\frac{1}{3} } = \frac{3}{2} \end{eqnarray}$ sein soll. Allerdings ohne weitere Begründung, und das kann ich nicht nach vollziehen. Ich weiß nicht wie man von der Summe auf den Bruch kommt.
18.09.2011, 20:51	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert einer (geometrischen) Reihe bestimmen Naja... für die geometrische Reihe gibt es eben diese Lösungsformel. Die ist bekannt und sollte man im Kopf haben, das braucht man immer mal wieder. Was möchtest du denn da nun wissen? Sonst schau halt mal bei Wikipedia: Geometrische Reihe nach, da stehen besagte Lösungsformel und deren Herleitung drin. Mehr kann man dazu so nicht sagen...
18.09.2011, 21:27	Taladan	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert einer (geometrischen) Reihe bestimmen Ich weiß gar nicht was da berechnet wurde. Soll das der Grenzwert/Limes sein? Ich versuche die ganze Zeit das erst einmal ohne Bruch zu verstehen. Also für $\begin{eqnarray} 3^n \end{eqnarray}$ . Frage 1: Aber dann ist der Grenzwert doch unendlich. Da n unendlich ist. Wie kann es da zu einen Limes kommen. Frage 2: Verwende ich die Formel für $\begin{eqnarray} \lim_{0 \to \infty } 3^n = 3^0 \frac{1-3^{n+1}}{1-3} = \frac {1}{1-3} = - \frac {1}{2} \end{eqnarray}$ Das kann doch gar nicht korrekt sein...
18.09.2011, 22:20	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert einer (geometrischen) Reihe bestimmen Ich habe nicht den Eindruck, dass du dich mit dem Artikel, auf den ich verlinkt habe, auseinander gesetzt hast. Da steht nämlich dick und fett drin, dass $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty} a_0 q^k \end{eqnarray}$ nur für \|q\|<1 konvergiert, und sonst divergiert. Ist ja auch klar, ist q betragsmäßig größer 1, geht es hier... $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty} a_0 q^k = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} a_0 q^k = \lim_{n \to \infty}a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q} = \frac{a_0}{1-q} \end{eqnarray}$ ... im vorletzten Schritt in die Hose, weil das q^(n+1) eben dann unendlich groß wird. Folgendes ist dir wohl noch nicht klar geworden: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{3^n} = \sum\limits_{n=0}^\infty \left ( \frac{1}{3} \right )^n \end{eqnarray}$ So ergibt sich in deinem Fall eben q=1/3. Und nun setz das mal ein. Diese Umformung kann man so machen, weil 1^n eben immer 1 bleibt, völlig egal, was n nun ist. Da wurde also nichts verändert. Und ja, es gibt hier einen Grenzwert, weil die Folgenglieder halt "schnell genug" kleiner werden. In diesem Fall hier ist das $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ einfach 1. Könnte man sonst auch einfach vor die Summe ziehen, wenn es nicht 1 wäre. Beispiel: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{2}{3^n} = 2 \sum\limits_{n=0}^\infty \left ( \frac{1}{3} \right )^n \end{eqnarray}$ Dann kann man es wieder wie gewohnt ausrechnen.
19.09.2011, 11:49	Taladan	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert einer (geometrischen) Reihe bestimmen stimmt das mit dem \|q\| < 1 habe ich tatsächlich überlesen. Wobei ich die meisten Wiki-Matheartikel kaum bis gar nicht einleuchtend geschrieben finde und deshalb häufig schon entnervt zu früh damit Aufgebe. Aber nu habe ich es verstanden. Danke erst mal. Ich habe mir das im Script noch einmal angeschaut und bin auf eine weitere Aufgabe gestoßen Konvergenz von $\begin{eqnarray} \lim_{1 \to \infty } \frac{3}{2^n} \end{eqnarray}$ soll hier gezeigt werden. Aber ich würde gerne den Grenzwert berechnen. Zuerst ziehe ich die 3 heraus, da ich die auch vor die Summe packen kann. und habe eine geometrische Reihe. $\begin{eqnarray} 3 \lim_{1 \to \infty } \frac{1}{2^n} \end{eqnarray}$ Aber geometrische Reihen beginnen bei 0. Was müßte ich hier tun? Darf ich die Reihe um das 0 - Glied ergänzen? Wenn ja, wäre folgendes richtig? $\begin{eqnarray} 3 \lim_{1 \to \infty } \frac{1}{2^n} = 3 \lim_{0 \to \infty } ( \frac{1}{2^n} - 1) = 3 (\frac{1}{1-\frac{1}{2} } -1) \end{eqnarray}$ Noch kurz ausgerechnet und der Grenzwert liegt bei 3
19.09.2011, 12:00	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Erkläre mir doch mal die Bedeutung der Symbole $\begin{eqnarray} \lim_{1\to \infty} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \lim_{0\to \infty} \end{eqnarray}$ , wenn du schon damit operierst! Ich hab dergleichen Symbolik noch nie gesehen. P.S.: Kann es sein, dass du stattdessen $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty} \end{eqnarray}$ meinst? Dann hast du aber arg danebengegriffen.
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19.09.2011, 12:38	Taladan	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Limes oder auch Grenzwert genannt, die im Prinzip der Wert an den sich eine Reihe annähert, je größer das n wird, aber nie erreicht. Der Pfeil darunter bestimmt, von wo nach wo die Summe der Reihe betrachtet wird. Beispiel: 1/n. Rechne mal nach was passiert wenn du n immer weiter anhebst. Die elemente werden immer Kleiner. Irgendwann bist du bei fast null wirst die null aber nie erreichen können, weil es immer noch ein n gibt, welches größer als das vorherige gibt und Reihen unendlich sind. Damit ist der Grenzwert 0 für diese Reihe. Das heißt nicht, das zwangsweise die Reihe irgendwann 0 wird, denn du addierst ja immer wieder eine (noch kleinere Zahl auf). Der Limes ist also am ehesten vergleich mit dem Endstück/Supremum/Infimum einer Unendlichen Reihe, welches gar nicht erreicht werden kann. Bitte korriegiert mich, wenn ich da falsch liege. Ich bin sogar fast davon überzeugt, das das stimmt was ich da hin geschrieben habe.
19.09.2011, 13:47	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke, du hast die Intention meines Beitrages so ziemlich missverstanden. Vielleicht hätte ich ihn noch ironischer formulieren sollen.
19.09.2011, 13:49	ThomasFF	Auf diesen Beitrag antworten »
"Der Limes oder auch Grenzwert genannt, die im Prinzip der Wert an den sich eine Reihe annähert, je größer das n wird, aber nie erreicht." Diesen Satz habe ich nun wirklich nur von Leuten gehört, die nach dem 2. Semester aufgehört haben Mathematik zu studieren...
19.09.2011, 15:11	Taladan	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann beruhigt es dich bestimmt, dass ich keine Mathestudent bin (sondern Informatik und dieses möchte ich bestimmt nicht auf die mathematischen Bereiche spezialisieren) und ich bin erst im 2 Semester .
19.09.2011, 15:36	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Trotzdem möchte ich dir dringend anraten, dich über die Bedeutung der Grenzwert- und Summensymbole mal gründlich zu informieren. Was du oben geschrieben hattest, ist nämlich so der reinste Humbug! Die Brücke, die ich dir hinsichtlich einer möglichen Verwechslung der beiden Symbole gebaut habe, wolltest du ja leider nicht betreten - obwohl das die einzige Chance war, aus deinen Ausführungen noch was einigermaßen sinnvolles zu machen.

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