Folge monoton wachsend und nach oben beschränkt

18.09.2011, 21:13	Lara_mag_Chemie	Auf diesen Beitrag antworten »
Folge monoton wachsend und nach oben beschränkt Hallo Ich habe hier in meinem Analysis I Lehrbuch (Fritzsche) eine Musterlösung zur Untersuchung der Konvergenz einer Folge, bei der ich einen Schritt nicht verstehe. Ich schreibe erst einmal die Aufgabe: Zeigen Sie, dass die Folge $\begin{eqnarray} a_n = \frac{2n-7}{3n+2} \end{eqnarray}$ monoton wachsend und nach oben beschränkt ist. Nach oben beschränkt ist leicht einzusehen. Eins wäre eine obere Schranke. Beim monoton wachsend verstehe ich nur den Ansatz, aber die Abschätzung die dann gemacht wird nicht. Es geht los mit: $\begin{eqnarray} a_{n+1} \geq a_n \end{eqnarray}$ Das ist okay, doch nun wird folgende Äquivalenz behauptet. $\begin{eqnarray} a_{n+1} \geq a_n \Leftrightarrow \frac{2n-5}{3n+5} \geq \frac{2n-7}{3n+2} \end{eqnarray}$ Ich habe das für ein paar n geprüft und die Aussage ist wahr. Doch wie kommt man darauf? Diesen ersten Bruch rechts von der Ordnungsrelation. Ist das dieses "elegant gesehen" was der Prof. manchmal sagt, oder wie ist das zu motivieren? Den Rest der Lösung verstehe ich dann, nur diese erste Abschätzung kapier ich nicht wie man sie bekommt. Danke Grüsse Lara
18.09.2011, 21:51	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} a_n=\frac {2n-7}{3n+2} \end{eqnarray}$ , was ist dann $\begin{eqnarray} a_{n+1} \end{eqnarray}$ ?
18.09.2011, 22:17	Lara_mag_Chemie	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi $\begin{eqnarray} a_{n+1} = \frac{2_{n+1}-7}{3_{n+1}+2} \end{eqnarray}$ aber wie weiter? Gruß
18.09.2011, 22:23	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso taucht das $\begin{eqnarray} n+1 \end{eqnarray}$ im Bruchterm als Index auf?
18.09.2011, 22:33	Lara_mag_Chemie	Auf diesen Beitrag antworten »
oh, ich Depp. Manchmal sieht man den Wald wohl vor lauter Bäumen nicht. Es ist $\begin{eqnarray} a_{n+1} = \frac{2(n+1)-7}{3(n+1)+2} = \frac{2n+2-7}{3n+3+2} = \frac{2n-5}{3n+5} \end{eqnarray}$ Dann ist jetzt alles klar. Danke dir lorek für das Augen öffnen.
21.01.2015, 15:48	bILDER1121	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum ist es bei 1 eine obere Schranke? Muss es nicht bei eins eine untere Schranke sein????
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21.01.2015, 16:14	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Kein einziges Folgenglied ist größere als 1 - es sind sogar alle Folgenglieder kleiner als 2/3. Wieso soll da 1 eine untere Schranke sein?

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