Harmonische Reihe divergent

19.09.2011, 10:54	hansmeiser	Auf diesen Beitrag antworten »
Harmonische Reihe divergent Meine Frage: Die Harmonische Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ soll divergent sein, die vergleichbare Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{n^{2}} \end{eqnarray}$ soll konvergent sein. Für mich ist das nicht nachvollziehbar, da irgendwie beide ähnlich wachsen. Meine Ideen: x
19.09.2011, 11:14	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Harmonische Reihe divergent Zunächstmal meinst du $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \end{eqnarray}$ . Und was verstehst du unter "ähnlich wachsen"? Zur Divergenz bzw. Konvergenz: Für die harmonische Reihe kann man zeigen: Für alle n aus N gilt die Ungleichung $\begin{eqnarray} \sum_{k=2}^{2^n}~\frac{1}{k} \geq \frac{n}{2} \end{eqnarray}$ . Daraus folgt die Divergenz. Für $\begin{eqnarray} s_n := \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} s_n \leq 1 + \sum\limits_{k=2}^n \frac{1}{k(k-1)} \end{eqnarray}$ Letzteres ist aber eine konvergente Teleskopsumme.
19.09.2011, 11:15	ThomasFF	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Harmonische Reihe divergent Die Folgenglieder der ersten Reihe "fallen nicht schnell genug" am. Die der zweiten aber schon. Wenn du es dir nicht vorstellen kannst, halte dich an die formalen Definitionen von Reihe und Konvergenz von Reihen.
19.09.2011, 11:50	hansmeiser	Auf diesen Beitrag antworten »
und ab wann ist der Nenner groß genug, damit die Gesamtreihe konvergiert?
19.09.2011, 12:05	ThomasFF	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn die Potenz > 1 ist.
19.09.2011, 12:30	hansmeiser	Auf diesen Beitrag antworten »
bei =1 ist sie dann also divergent, bei <1 ist auch divergent?
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19.09.2011, 12:38	ThomasFF	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist so. Warum das so ist, solltest du verstehen.
19.09.2011, 12:45	Taladan	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurz gesagt ist die Harmonische Reihe auch so etwas wie ein Grenzfall. Wenn die Summe der Glieder generell kleiner als die Summe der Glieder in der Harmonischen Reihe sind, und sind diese konvergent. Wenn sie größer oder gleich divergent. Schon erklärt finde ich das in diesen Video http://www.youtube.com/watch?v=lIGGo-vSh-I&feature=related. Die Reihe des Webcaster hat mir einige Aha-Effekte verpasst.

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