Aufgabe zu Körpererweiterungen

19.09.2011, 12:30

Zitrone21

Aufgabe zu Körpererweiterungen

Hallo zusammen,
hier noch eine Aufgabe bezüglich Körpererweiterungen, die ich momentan nicht vollständig lösen kann.

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} f = x^3-x^2+1 \in \mathbb{F}_3[x] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(\alpha) = 0 \end{eqnarray*}$

a) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist.
b) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} (\alpha^2-1) \end{eqnarray*}$ Nullstelle von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist.
c) Ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_3[\alpha] / \mathbb{F}_3 \end{eqnarray*}$ normal?

Mein Ansatz:
a)
Zeige, dass $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ irreduzibel in $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_3[x] \end{eqnarray*}$ ist.
$\begin{eqnarray*} f(0) = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(1) = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(-1) = -1 \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ist irreduzibel in $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_3[x] \end{eqnarray*}$ , (weil 3 als höchster Exponent bedeutet, das wir entweder einen Linearfaktor rausziehen können, oder das Polynom irreduzibel ist)
$\begin{eqnarray*} => f(x) \end{eqnarray*}$ ist das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$

b)
$\begin{eqnarray*} f(\alpha) = 0 = \alpha^3-\alpha^2+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \alpha^3=\alpha^2-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(\alpha^2-1) = (\alpha^2-1)^3 - (\alpha^3)^2 + 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 3*\alpha^4-3*\alpha^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 0 \end{eqnarray*}$ weil in $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_3 \end{eqnarray*}$

c)
Hier ist zu Überprüfen, ob das Minimalpolynom $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_3[\alpha] \end{eqnarray*}$ in Linearfaktoren zerfällt.

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^3 - x^2 + 1 \end{eqnarray*}$
Aus a) ist bekannt $\begin{eqnarray*} f(\alpha) = 0 \Leftrightarrow (x-\alpha) \end{eqnarray*}$ ist ein Linearfaktor
Aus b) ist bekannt, dass $\begin{eqnarray*} (\alpha^2-1) \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle ist.
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (x-\alpha^2+1) \end{eqnarray*}$ ist Linearfaktor

Nun habe ich zwei Linearfaktoren.
Eigentlich ergibt sich hier doch die Existenz des dritten Linearfaktors, oder?

Wie sieht der dritte Linearfaktor aus?

19.09.2011, 13:57

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

(a): ist richtig.

(b): Diese Terme $\begin{eqnarray*} 3\alpha^4-3\alpha^2 \end{eqnarray*}$ kannst du auch weglassen, denn in $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_3 \end{eqnarray*}$ und jedem Erweiterungskörper ist $\begin{eqnarray*} x\mapsto x^3 \end{eqnarray*}$ ein Automorphismus (Frobenius-Automorphismus), d.h. die binomische Formel reduziert sich in dem Fall zu $\begin{eqnarray*} (x+y)^3=x^3+y^3 \end{eqnarray*}$ .

(c): Ja, weil du zwei Linearfaktoren kennst, muss es natürlich auch noch einen dritten geben. Die Frage wäre nun, ob die dritte Nullstelle auch in $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_3[\alpha] \end{eqnarray*}$ liegt.
Dabei wird wieder die immense Bedeutung des Frobenius-Automorphismus offenkundig. Denn ist irgendein $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle, so auch $\begin{eqnarray*} \tau^3 \end{eqnarray*}$ (denn $\begin{eqnarray*} 0=(f(\tau))^3=f(\tau^3) \end{eqnarray*}$ ).
Nun haben wir schon, dass $\begin{eqnarray*} \alpha^3=\alpha^2-1 \end{eqnarray*}$ . Folglich ist die dritte Nullstelle gegeben als $\begin{eqnarray*} (\alpha^3)^3 \end{eqnarray*}$ .

Im Übrigen sind $\begin{eqnarray*} \alpha, \alpha^3, (\alpha^3)^3 \end{eqnarray*}$ auch paarweise verschieden, da endliche Körper perfekt sind. D.h. jede endliche Erweiterung eines endlichen Körpers ist separabl bzw. jedes irreduzible Polynom über einem endl. Körper ist separabel.

19.09.2011, 14:59

Manus

Auf diesen Beitrag antworten »

@ Jester zu c):

Liegen zwei NS eines Polynoms dritten Grades in einem Körper, so auch die dritte.

Da kann man sich den Frobenius auch sparen. Nichts desto weniger liefert seine Anwendung einem natürlich zusätzliche Informationen.

19.09.2011, 15:10

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgabe zu Körpererweiterungen
Stimmt natürlich, danke für den Hinweis.
@Zitrone21: Trotzdem ist der Frobenius nützlich, denn er beantwortet dir die folgende Frage Augenzwinkern

Zitat:

Original von Zitrone21
Wie sieht der dritte Linearfaktor aus?

22.09.2011, 15:42

Zitrone21

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, vielen Dank!

Neue Frage »

Antworten »

Aufgabe zu Körpererweiterungen

Verwandte Themen