Skalare Gleichung auflösen

19.09.2011, 11:28

Laren0815

Skalare Gleichung auflösen

Hi,

Ich habe die Aufgabe unten, aber ich weis irgentwie nicht wircklich wie ich an die Aufgabe herangehen soll.
Ich schätze mal stark, dass ich dies durch umformen heraus finden soll, also hab ich damit einmal angefangen

$\begin{eqnarray*} <u,v>=\alpha |u+v|^{2}+\beta|u-v|^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |u+v|^{2}=|u|^{2}+2|u||v|+|v|^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |u-v|^{2}=|u|^{2}-2|u||v|+|v|^2 \end{eqnarray*}$

Aber wie gehts weiter? traurig

Viele Grüße

19.09.2011, 12:03

LoBi

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Es gilt: $\begin{eqnarray*} ||v||=\sqrt{<v,v>} \end{eqnarray*}$

Gruß

19.09.2011, 12:04

chrizke

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RE: Skalare Gleichung auflösen

Zitat:

Original von Laren0815
$\begin{eqnarray*} |u+v|^{2}=|u|^{2}+2|u||v|+|v|^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |u-v|^{2}=|u|^{2}-2|u||v|+|v|^2 \end{eqnarray*}$

An dieser stelle geht es gar nicht weiter. Du hast da falsch umgeformt. Denn du musst bei dieser Stelle das Skalarprodukt mit einbeziehen:

$\begin{eqnarray*} \|u+v\|^2 = (u+v,u+v) = (u,u) + 2(u,v) + (v,v) = \|u\|^2+2(u,v)+\|v\|^2 \end{eqnarray*}$

wenn du das nun für deine Ausgangsgleichung machst, erhältst du ein Gleichungssystem, das du lösen kannst.

19.09.2011, 13:50

Laren0815

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ok, dann hab ich hier

$\begin{eqnarray*} <u,v>= \alpha (|u|^{2}+2<u,v>+|v|^{2})+\beta (|u|^{2}-2<u,v>+|u|^{2}) \end{eqnarray*}$

Aber ich finde leider immer noch nichts was ich lösen könnte, bis auf vieleicht $\begin{eqnarray*} \alpha \neq 0;\beta \neq 0 \end{eqnarray*}$

19.09.2011, 14:05

chrizke

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Schon besser.

Bring doch jetzt mal das Skalarprodukt und die Normen jeweils auf eine Seite.

Und überleg dir dann, ob es möglich ist, das Skalarprodukt aus Linearkombination der beiden Normen auszudrücken oder nicht.

19.09.2011, 14:51

Laren0815

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ok, ich forme um Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} <u,v>=(\alpha + \beta ) *(|u|^{2}+|v|^{2})+2*(\alpha + (-\beta) )*(<u,v>) \end{eqnarray*}$

und bekomme als Lösung $\begin{eqnarray*} \alpha = \frac{1}{4};\beta = -\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Stimmts? smile

19.09.2011, 14:53

chrizke

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Ja genau, die beiden Zahlen habe ich auch raus.

19.09.2011, 14:54

ThomasFF

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Hallo, ja stimmt. Diese Identität ist auch bekannt als Polarisationsidentität.

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