Nullstellen einer abgeleiteten Funktion mit log berechnen

19.09.2011, 14:56

GregorC

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Nullstellen einer abgeleiteten Funktion mit log berechnen

Ich habe hier eine Funktion abgeleitet : $\begin{eqnarray*} x^2 * log[x] \end{eqnarray*}$

Das wäre das Ergebnis.

$\begin{eqnarray*} x+2xlog[x] \end{eqnarray*}$

Wie kann ich davon jetzt die Nullstellen berechnen? Ich stehe total aufm Schlauch....
Mich stört das log(x) irgendwie...

Danke schonmal für die Hilfe.
Gruß Gregor

19.09.2011, 15:01

chrizke

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In deiner Ableitung fehlt noch ein x:

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{d x}(x^2\ln x) = 2x\ln x + x \end{eqnarray*}$

Hier kannst du nun ein x ausklammern und musst dann nur noch zwei die Nullstellen der zwei Faktoren berechnen.

19.09.2011, 15:19

GregorC

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Ok, danke schonmal. Wäre das dann folgendermaßen?

$\begin{eqnarray*} x(2*log[x]+1) \end{eqnarray*}$

Dann hätte ich ja schonmal x1=0 aber was iist mit

$\begin{eqnarray*} 2*log[x]+1 \end{eqnarray*}$

19.09.2011, 15:20

chrizke

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Genau, 0 ist die eine Nullstelle.

Im anderen Term hast du:

$\begin{eqnarray*} 2\ln x+1=0\quad \Rightarrow\quad \ln x = -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

19.09.2011, 15:22

GregorC

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Ahh, also wären meine Nullstellen demnach x1 = 0 und x2 = $\begin{eqnarray*} -1/2 \end{eqnarray*}$

Das da log seht ist egal?

19.09.2011, 15:25

chrizke

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Zitat:

Original von GregorC
Das da log seht ist egal?

Um Gottes Willen, das ist sogar ganz entscheidend. Wenn du

$\begin{eqnarray*} x^3=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

hast, ist das hoch 3 ja auch nicht einfach egal.

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19.09.2011, 15:31

GregorC

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Ja schon. Aber normalerweise löse ich ja nach x1 und x2 auf und jetzt bleibt aber ein log(x) über. Wie führe ich damit weiter eine Kurvendiskussion aus?

Ich versteh auch das Ergebnis log(x) = -1/2 nicht. Wenn ich -1/2 in die Gleichung einsetzte bekomm ich doch spätestens bei log(-1/2) einen Error?!

19.09.2011, 15:42

chrizke

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$\begin{eqnarray*} \ln x=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
Bedeutet, dass du eine Zahl x suchst, sodass der Logarithmus dieser gesuchten Zahl $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ist.

Mal zum Beispiel mit dem hoch 3:

$\begin{eqnarray*} x^3=\frac{1}{2}\quad \Rightarrow x=\sqrt[3]{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Sowas ähnliches musst du auch mit dem Logarithmus machen. Da ist dann die Umkehrfunktion halt nicht die Wurzel sondern...?

19.09.2011, 15:46

GregorC

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Ja, hast natürlich recht.
Jetzt versteh ich was du meinst. Aber wie ich diese Zahl bei log(x) jetzt finden soll, keinen Schimmer. Hast du einen Tipp?

19.09.2011, 15:47

chrizke

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Der steht da doch schon Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was ist die Umkehrfunktion vom Logarithmus?

Bei dem hoch drei war es ja die Wurzel:

$\begin{eqnarray*} (\sqrt[3]{x})^3=x \end{eqnarray*}$

Was ist es beim ln?

19.09.2011, 16:26

GregorC

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Das ganze mal e rechnen? Also auf beiden Seiten?

log(x) = -1/2 < *e
x = -1/2*e?

19.09.2011, 16:32

Q-fLaDeN

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Hinweis:

$\begin{eqnarray*} x_1 = 0 \end{eqnarray*}$ ist keine Lösung. Es gilt zwar $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^+} 2x\ln(x)+x = 0 \end{eqnarray*}$ , aber an der Stelle 0 selbst ist immernoch eine Definitionslücke.

19.09.2011, 16:35

chrizke

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Zitat:

Original von Q-fLaDeN
$\begin{eqnarray*} x_1 = 0 \end{eqnarray*}$ ist keine Lösung.

Oh stimmt, das hatte ich total übersehen. Forum Kloppe

Forum Kloppe

Danke für den Hinweis.

19.09.2011, 16:36

chrizke

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Zitat:

Original von GregorC
Das ganze mal e rechnen? Also auf beiden Seiten?

Hab ich bei dem Hoch 3 Beispiel mal dritte Wurzel gerechnet?

Und gilt $\begin{eqnarray*} e\cdot \ln x = 2.7183\cdot \ln x = x \end{eqnarray*}$ ?

19.09.2011, 16:41

GregorC

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dann muss ich die 10 ^ (-1/2) rechnen, da log ja zur Basis 10 ist?
Und dann wäre mein x = 0,31... ?
Ist der Ansatz so richtig?

19.09.2011, 16:52

chrizke

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Ja genau.

Jetzt ist nur die Frage, ob log bei euch zur Basis e oder 10 geht.

Somit hast du entweder

$\begin{eqnarray*} x=10^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} x = e^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

19.09.2011, 16:53

GregorC

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Ah sehr gut :-) Danke dir für die Hilfe!

19.09.2011, 17:09

Q-fLaDeN

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Egal welcher Logarithmus gemeint ist, die Lösung ist immer $\begin{eqnarray*} x = \exp\left(-\frac 1 2\right) \end{eqnarray*}$ .

19.09.2011, 17:22

chrizke

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Auch da hast du wieder recht.

Damit aber keine Verwirrung aufkommt:

$\begin{eqnarray*} x=e^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

ist ein Punkt mit wagerechter Tangente der Funktion $\begin{eqnarray*} x^2\log_a x \end{eqnarray*}$ , egal zu welcher Basis.

Es ist natürlich nicht immer die Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} \log_a x = -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

19.09.2011, 17:57

GregorC

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Ok, also ist die Lösuung jetzt e^-1/2

Die erste Nullstelle kann aber als x=0 stehenbleiben? Definitionslücke hin oder her? Könnte also mit x1=0 die Kurvendiskussion weiter durchführen?

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