simple differentialgleichung

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moonsymmetry Auf diesen Beitrag antworten »
simple differentialgleichung
hallo,
gesucht ist die allgemeine löung der lin. differentialgleichunt


zunächst versucht man ja mal die zugehörige homogene Gleichung zu lösen.
hom.Gl.:
das macht man mit "Trennung der Variablen" also x und y auf seperate seiten bringen.





erledigt.
Als nächstes muss man beide Seitn Integrieren.







wie geht es aber nun weiter?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Du willst doch y wissen, also musst Du nach y auflösen.
 
 
moonsymmetry Auf diesen Beitrag antworten »

ich fürhcte das bring ich nicht zusammen.
habe probleme damit den zusammenhang zwischen ln und der e funktion (denn genau das brauch ich ja hier?) zu verstehen.

der zusammenhang wäre:
ich weiß nicht wie ich das hier anwenden kann.....
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Idee ist richtig.

Und das machst Du jetzt auf beiden Gleichungsseiten, sprich:

moonsymmetry Auf diesen Beitrag antworten »

ohmann ist das schwer...
also wenn gilt,
dann bedeutet das für vielleicht



?? verwirrt
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist korrekt, Du kannst das aber nun noch weiter umformen, nämlich:

moonsymmetry Auf diesen Beitrag antworten »

ah ich glaube ich habe es nun begriffen.
auf jedenfall merk ich mir mal den zusammenhang e^(lnx) = x smile

hm nun ist es aber so dass ich ja das c jetzt weiter benötige. für die bestimmung der partikulären lösung der inhomogenen Gleichung. da wäre es besser wenn man das c nicht so blöd im exponenten stehen hätte....

darf ich folgendes machen: ?
das x haben wir ja erunterbekommen weil es ursprünglich argument eines ln war:

das gleiche kann ich ja auch mit dem c, meiner unbekannten integrationskonstante machen oder?
also ich nehme auch von c auch den logarithmus, das ist ja eh wieder irgendeine konstante:






ist das zulässig?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: simple differentialgleichung
Ich würde sagen, das geht so nicht.

Handelt es sich denn bei Deiner Aufgabe vllt. um ein Anfangswertproblem, d.h. ist neben der eigentlichen Differentialgleichung auch noch ein Anfangswertepaar gegeben?

Wenn nicht, musst Du das c so stehen lassen und damit die allgemeine Lösung der Differentialgleichung nun bestimmen, sprich eine partikuläre Lösung noch finden.

Tipp: Variation der Konstanten
moonsymmetry Auf diesen Beitrag antworten »
RE: simple differentialgleichung
hm ok.
nein anfangswerte sind nicht gegeben.

nagut dann variation d. konstanten.

das heißt zunächst nichts anderes als: ich mache aus meinem C eine Funktion C(x).
also habe ich:


als nächstes muss man und in die inhomogene Gleichung einsetzen:

also:

hier ist für mich schon wieder endstation.
wie leitet man denn bitte ab.... Forum Kloppe
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »
RE: simple differentialgleichung
Zitat:
Original von Dennis2010
Ich würde sagen, das geht so nicht.


Doch, das geht so.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: simple differentialgleichung
Dann gebe ichs an dieser Stelle mal ab, weil ichs anscheinend selbst nicht ganz blicke und nichts Falsches sagen möchte.

Ich hätte einfach gesagt:

Allgemeine Lösung des homogenen Problems ist mit , also

Damit müsste man jetzt Variation der Konstanten machen können.
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll denn das sein? verwirrt

@moonsymmetry
Wir haben also



Das musst du nun ableiten (doppelte Produktregel).
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, ich bin bescheuert. Ich hab mir ein Anfangswertproblem eingebildet, das ist ja aber hier keins.

Sorry, dann komme ich für die allgemeine Lösung des homogenen Problems auch auf

.

Naja und nun könnte ich auch wieder weiterhelfen, aber ich lasse dich das jetzt mal machen.
moonsymmetry Auf diesen Beitrag antworten »

okay habs auf meinem blatt ausgebessert...
also


jetzt also die ableitung von
dachte mir schon dass es mit doppelter produktregel geht:
für den term
sage ich:




für wieder die Produktregel u = x und v = C(x). also u' = 1 und v' = C'(x)


jetzt noch die erste produktregel fertigrechnen: (f*g' + f'*g)
ergibt:




geschockt
richtig bis hier her?
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht gut aus Freude
moonsymmetry Auf diesen Beitrag antworten »

okay smile
dann also y'_p und y_p in die differentialgleichung einsetzen:


der zweite und dritte summand heben sich glücklicherweise auf



was muss ich jetzt eigentlich machen? ich brauche die funktion C(x) oder?
hier stehe ich glaub ich schon wieder an.....hm
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ermittle c(x).
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Was für eine Rechnerei! Big Laugh

Ich geh' jetzt hier weg, aber vorher poste ich noch schnell meine Lösung, damit Du das evtl. daran vergleiche kannst:



Probe haut hin.
moonsymmetry Auf diesen Beitrag antworten »

ich probiere mal das C(x) da rauszubekommen
als erstes bring ich einen summanden mal auf die andere seite:

links kann ich x wegstreichen

pffff
ich komm da nicht weiter... Forum Kloppe
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast beim Einsetzen ein x vergessen. Desweiteren musst du auf das Minus aufpassen, wenn du x kürzt. In die DGL eingesetzt bekommen wir



dann kürzen



und ausmultiplizieren



Nun mach du weiter.
moonsymmetry Auf diesen Beitrag antworten »

okay ich glaub ich habs smile

los gehts:
also bei deiner letzten zeile hebt sich wunderschön summand 2 mit 4 und summand 3 mit 5 auf der linken seite auf. es bleibt übrig:


das ist gut weil nun kann ich schön nach C'(x) auflösen





Prost

okay C'(x) hab ich mal. Ich brauche aber C(x) --> integrieren.
Funktioniert wunderbar mit der Integrationsregel für Produkte. (g = 4x, f'=e^x)





Prost

der Ansatz dur Variation d. Konstante war ja

das C(x) kann ich jetzt hier einsetzen:



//e^x verschwindet Wink



Die Allgemeine lösung ergibt sich durch
also homogene plus partikuläre lösung.

also:

Hammer

passt das?
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »

Passt alles Freude
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