Integral Konvergenz

19.09.2011, 15:30

null12

Integral Konvergenz

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! x^{\alpha }*(e^{x}-cos(x)) \, dx \end{eqnarray*}$

für welche alpha konvergiert/divergiert das integral?

nach hinweisen im aufgabentext habe ich den integranden jetzt so abgeschätzt:

$\begin{eqnarray*} ...\leq x^{\alpha +1}*5 \end{eqnarray*}$

dieses integral könnte ich jetzt (mit dem spezielfall alpha=-2) lösen. jedoch frag ich mich wie ich auf divergenz/kovergenz schließen soll.

19.09.2011, 16:20

René Gruber

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Zitat:

Original von null12
nach hinweisen im aufgabentext habe ich den integranden jetzt so abgeschätzt:

$\begin{eqnarray*} ...\leq x^{\alpha +1}*5 \end{eqnarray*}$

Das ist nur die Abschätzung nach oben, die bei Konvergenzaussagen über Majoranten hilft.

Für die (anderen) $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ mit Divergenz brauchst du aber eine Minorante, also eine Abschätzung nach unten.

Beides liefert der MWS: Für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus dem Bereich $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} \vartheta\in (0,1) \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} e^x - \cos(x) = x\cdot \left( e^{\vartheta x}+\sin(\vartheta x) \right) \end{eqnarray*}$ .

Offenbar ist $\begin{eqnarray*} t \mapsto e^t+\sin(t) \end{eqnarray*}$ im Intervall [0,1] monoton wachsend, womit man sofort

$\begin{eqnarray*} 1 \leq e^{\vartheta x}+\sin(\vartheta x) \leq e+\sin(1) < 4 \end{eqnarray*}$

abschätzen kann (du hast 5 als obere Schranke, ist ebenso ausreichend), dies führt zu

$\begin{eqnarray*} x^{\alpha+1} \leq x^{\alpha} \cdot \left( e^x - \cos(x) \right) \leq 4x^{\alpha+1} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$ .

Durch diese Einschachtelung reduziert sich alles auf die Frage nach dem Konvergenzverhalten von $\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{1} x^{\alpha+1} ~ \dd x \end{eqnarray*}$ für die verschiedenen $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ .

19.09.2011, 18:32

null12

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der letzte satz gilt nur weil majorante und minorante sich nur durch den faktor 4 unterscheiden oder?

kann ich mit meiner majorante alleine schon was aussagen?immerhin weiß ich dass $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \frac{1}{x^{\alpha } } \, dx \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \alpha < 1 \end{eqnarray*}$ konvergiert.

19.09.2011, 18:45

René Gruber

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Zitat:

Original von null12
kann ich mit meiner majorante alleine schon was aussagen?immerhin weiß ich dass $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \frac{1}{x^{\alpha } } \, dx \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \alpha < 1 \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Genau darüber habe ich doch geredet: Damit kannst du dann auch folgern, dass dein Original-Integral für $\begin{eqnarray*} \alpha>-1 \end{eqnarray*}$ konvergiert.

19.09.2011, 19:02

null12

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Zitat:

Original von René Gruber

Zitat:

Genau darüber habe ich doch geredet: Damit kannst du dann auch folgern, dass dein Original-Integral für $\begin{eqnarray*} \alpha>-1 \end{eqnarray*}$ konvergiert.

$\begin{eqnarray*} \alpha>-2 \end{eqnarray*}$ kommt doch insgesamt raus, oder? $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ =-1 konvergiert nach wolframalpha.

könntest du mir noch diese frage beantworten, dankee!!!

der letzte satz gilt nur weil majorante und minorante sich nur durch den faktor 4 unterscheiden oder?

19.09.2011, 19:21

René Gruber

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Ja, entschuldige, du hast mich mit diesem anderen $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ in deinem $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \frac{1}{x^{\alpha}} ~ \dd x \end{eqnarray*}$ ganz durcheinandergebracht. Augenzwinkern

Also: Du weißt, dass $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \frac{1}{x^{\beta}} ~ \dd x = \int_0^1 x^{-\beta} ~ \dd x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \beta < 1 \end{eqnarray*}$ konvergiert. In unserem Fall geht es um $\begin{eqnarray*} \int_0^1 x^{\alpha+1} ~ \dd x \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \alpha = -\beta-1 \end{eqnarray*}$ . Damit kann man $\begin{eqnarray*} \beta<1 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \alpha >-2 \end{eqnarray*}$ übersetzen.

19.09.2011, 19:29

null12

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ich glaub ich habe mich falsch ausgedrückt sorry, deine ausführung im letztem post ist mir vollkommen klar Augenzwinkern

es geht mir um den ansatz , dass ich nur $\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{1} x^{\alpha+1} ~ \dd x \end{eqnarray*}$ betrachten kann. also wieso das genau aus der abschätzung, welche ich verstehe, folgt:

$\begin{eqnarray*} x^{\alpha+1} \leq x^{\alpha} \cdot \left( e^x - \cos(x) \right) \leq 5x^{\alpha+1} \end{eqnarray*}$

19.09.2011, 19:31

René Gruber

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Der Begriff "Majorante" sagt dir doch was? Wenn nicht, dann recherchiere, ich erzähle hier keine Romane.

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