Intergral zeigen

27.12.2006, 13:03

tigernadi

Intergral zeigen

Hallo

ich soll folgendes zeigen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } n \cdot (\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{(n+2)^2}+...+\frac{1}{(2n-1)^2})=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

kann mir dabei einer helfen?

27.12.2006, 13:18

Dual Space

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RE: Intergral zeigen
Nur mal so nebenbai ... wieso heißt dein Thread "Intergral zeigen"?

27.12.2006, 13:20

pseudo-nym

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Versuch doch am besten deinen Ausdruck in der Klammer zu einer Summe umzuwandeln.
(Alternativ kannst du auch l'Hospital anwenden)

Ist außerdem ein sehr exotisches Integral Augenzwinkern

27.12.2006, 14:52

tigernadi

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Die Summe könnte dann doch so aussehen oder:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum_{k=}^n~(\frac{1}{(n+k)^2}) \end{eqnarray*}$

Was mache ich denn, wenn ich die Summe habe?

27.12.2006, 17:24

Mathespezialschüler

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Du kannst abschätzen

$\begin{eqnarray*} \int_n^{2n}~\frac{1}{x^2}~\mathrm dx\leq \frac{1}{n^2}+\ldots+\frac{1}{(2n-1)^2}\leq \int_{n-1}^{2n-1}~\frac{1}{x^2}~\mathrm dx \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

27.12.2006, 18:49

tigernadi

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und was muss ich dann machen?

27.12.2006, 19:12

Mathespezialschüler

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Die beiden Integrale ausrechnen.

Gruß MSS

27.12.2006, 19:33

brain man

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Du kannst abschätzen

$\begin{eqnarray*} \int_n^{2n}~\frac{1}{x^2}~\mathrm dx\leq \frac{1}{n^2}+\ldots+\frac{1}{(2n-1)^2}\leq \int_{n-1}^{2n-1}~\frac{1}{x^2}~\mathrm dx \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

Du weißt doch wohl wie man Integrale berechnet.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2} = x^{-2} \end{eqnarray*}$

Davon bildest du die Stammfunktion mit :

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{n+1}}{n+1} \end{eqnarray*}$

und berechnest standardmäßig mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung :

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~x~dx = [F(b)-F(a)]_{b}^a \end{eqnarray*}$

27.12.2006, 19:46

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von brain man
Davon bildest du die Stammfunktion mit

Eine Stammfunktion.

Gruß MSS

27.12.2006, 20:37

Dual Space

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Zitat:

tigernadi: Nun weißt du auch, wieso der Titel dieses Threads so ist wie er ist (bis auf en Rechtschreibfehler in "Intergral"). Hatte gehofft, dass du selber diesen Bogen schlagen würdest.

28.12.2006, 12:22

tigernadi

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eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~1/x^2~dx \end{eqnarray*}$ könnte doch auch 1/(-x) sein oder?

28.12.2006, 12:30

tigernadi

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so ich hab das mit einer Stammfunktion mit -1/x abgeschätzt, dann kam das raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n} \leq \frac{1}{n^2} +...+\frac{1}{(2n-1)^2} \leq \frac{n}{2n^2+2n+1} \end{eqnarray*}$

und was muss ich jetzt machen, oder war es das schon?

28.12.2006, 12:56

Mathespezialschüler

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Eigentlich sollte

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n}\leq\frac{1}{n^2}+\ldots+\frac{1}{(2n-1)^2}\leq \frac{n}{2n^2-3n+1} \end{eqnarray*}$

rauskommen. Multipliziere das nun noch mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und dann guck mal genau hin! Vor allem solltest du nicht aus dem Auge verlieren, welche Folge denn in der Aufgabe eigentlich betrachtet werden soll.

Gruß MSS

28.12.2006, 13:31

Leopold

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@ tigernadi

Noch eine Ergänzung zu MSS: Auf der rechten Seite der Ungleichung ist es auch gar nicht erforderlich, die beiden Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen und auszumultiplizieren. Das ist so ein Automatismus, der bei den meisten abläuft. Hier kann man den Grenzwert aber auch ohne all dies ablesen.

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