Sind die drei Vektoren komplanar / linear abhängig ?

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Christian_P Auf diesen Beitrag antworten »
Sind die drei Vektoren komplanar / linear abhängig ?
In der Schule (Fachschule) haben wir gerade eine Einführungsphase in die Vektorrechnung hinter uns. Das Thema ist, wie ich finde, nicht so leicht zugänglich, und es fällt mir nicht ganz leicht, alle Begriffe richtig einzuordnen, da sie manchmal doch recht abstrakt sind.

Drei gegebene Vektoren sind komplanar, wenn sie in ein und derselben Ebene liegen.
So weit so gut


Jetzt habe ich hier drei Vektoren.




Wir hatten die Komplanaritätsbedingung

Wenn es eine Linearkombination gibt, dass gilt



Mit Linearkombination meint man hier doch drei reelle Zahlen , sodass wenn man diese mit den Vektoren multipliziert und dann die Produkte addiert der Nullvektor herauskommt. Richtig?


so habe ich dann





jetzt kann ich doch 3 lineare Gleichungungen daraus machen




hab mal versucht es zu lösen





Nach der Rechnung könnte ich für nun jeden Wert einsetzten. Ein komischer Wiederspruch.
Lohnt es sich hier weiterzumachen?


Was bedeutet das jetzt für die Vektoren?


lg,
Christian
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ein paar Bemerkungen.


1. Da Vektoren Verschiebungen repräsentieren, sollte man nicht sagen: "drei Vektoren liegen in einer Ebene", sondern "es gibt Pfeile für die drei Vektoren, die in einer Ebene liegen". Ich gebe allerdings zu, daß sich der Sprachgebrauch mit der Zeit abschleift und man dann doch zur kürzeren, wenn auch nicht ganz richtigen Formulierung greift.


2. Die Komplanarität dreier Vektoren kann man geometrisch oder rechnerisch fassen.

Geometrische Fassung: Drei Vektoren sind komplanar, wenn es Pfeile für sie gibt, die in einer Ebene liegen.

Rechnerische Fassung: Drei Vektoren sind komplanar, wenn sich der Nullvektor aus ihnen nichttrivial linear kombinieren läßt.


Was soll das nun bedeuten? Dazu das Folgende.

3. Den Term



wo irgendwelche Skalare sind, nennt man Linearkombination von (der ganze Term ist also die Linearkombination, nicht nur ). Die spezielle Linearkombination nennt man die triviale Linearkombination. Rechnet man die aus, erkennt man, daß die triviale Linearkombination gleich dem Nullvektor ist.
Jede andere Linearkombination von nennt man nichttriviale Linearkombination. Es kann nun passieren, daß eine gewisse nichttriviale Linearkombination der Nullvektor ist. Und wenn das passiert, sagt man, die Vektoren sind komplanar. Wenn es dagegen niemals passieren kann, dann sind die Vektoren nicht komplanar, spannen also ein räumliches Gebilde (ein Parallelepiped) auf.


In deiner Gleichung suchst du nun links eine nichttriviale Linearkombination (Komplanarität) oder du zeigst, daß eine solche nicht existiert (Nichtkomplanarität).
Deine Rechnung stimmt. Jetzt schreibe das Letzte einmal als lineares Gleichungssystem auf (die rechte Seite mit den Nullen hast du ja unterwegs vernachlässigt; warum darf man das?). Und schau, ob du finden kannst, die nicht alle zugleich sind und das System lösen.
Christian_P Auf diesen Beitrag antworten »

Wunderbar, dankeschön! Das ist eine sehr ausführliche Erklärung, die mir ein wenig mehr Klarheit verschafft.

OK














eine nicht triviale Lösung des Systems wäre also




da beliebig gewählt wurde könnte man auch schreiben




Es gibt mindestens eine nicht triviale Lösung, die den Nullvektor ergibt => Die drei Vektoren sind komplanar.


Zitat:
Original von Leopold
(die rechte Seite mit den Nullen hast du ja unterwegs vernachlässigt; warum darf man das?).
Man darf dies da die 0 ein neutrales Element ist Idee!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Lösung stimmt. Es reicht allerdings, 1 nichttriviale Linearkombination anzugeben. Nimm die mit den einfachsten Zahlen.

Zitat:
Original von Christian_P
Zitat:
Original von Leopold
(die rechte Seite mit den Nullen hast du ja unterwegs vernachlässigt; warum darf man das?).
Man darf dies da die 0 ein neutrales Element ist :idee


Nun ja, eigentlich darf man die rechte Seite des Gleichungssystems nicht einfach weglassen. Da sie hier aber nur Nullen enthält, bei den elementaren Umformungen diese Nullen aber erhalten bleiben, ändert sich die rechte Seite während des Umformungsprozesses nie. Man erspart sich also, diese Nullen immer mitzuschleppen. Eigentlich müßte man es aber schon ...
Christian_P Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, das habe ich mir dann auch gedacht. Warum es sich so schwer machen. Ich hätte auch die 1 nehmen können.
smile

Danke für die ausführliche Hilfe, ich hatte einen echten Aha-Effekt, denn so ein Gleichungssystem, bei dem unendlich viele Lösungen existieren, hatte ich bisher noch nicht gelöst. Das war auch einer der Gründe, warum ich an der Stelle, an dem die Nullreihe auftrat, so verwirrt war. Jetzt weis ich auch, wie genau man ein solches Ergebnis im Zusammenhang mit Vektoren interpretieren muss.
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