Kettenregel Ableitung

19.09.2011, 17:58

Ascareth

Kettenregel Ableitung

Hallo,

bei dieser Aufgabe habe ich es mal mit der Kettenregel versucht. Warum so allerdings das richtige Ergebnis geliefert wird, leuchtet mir nicht so ganz ein.

$\begin{eqnarray*} f_{(x)}=\sqrt[]{\frac{1}{n} \cdot x}=(\frac{x}{n})^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'_{(x)}=\frac{1}{2}(\frac{x}{n})^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{n}=\frac{1}{2n\sqrt[]{\frac{x}{n}}} \end{eqnarray*}$

Das ist ja soweit richtig. Warum geht es aber nicht, wenn ich 1/n als Faktor interpretiere? Oder ist 1/n schon eine Funktion, einfach nur weil die Variable n enthalten ist?

Ich dachte zuerst so:
$\begin{eqnarray*} f'{(x)}=\sqrt[]{\frac{1}{n}} \cdot \sqrt[]{x}=\frac{1}{\sqrt[]{n}} \cdot \frac{1}{2\sqrt[]{x}}=\frac{1}{2\sqrt[]{xn}} \end{eqnarray*}$

Das ist offensichtlich falsch. Also ist 1/n kein Faktor, weil die Variable n enthalten ist. Wäre beispielsweise an Stelle von n eine Zahl aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ gewählt worden, dann wäre es ein Faktor richtig?

19.09.2011, 18:07

schultz

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wenn du in deiner oberen rechnung das n in die wurzel reinmultiplizierst, erhältst du das selbe ergebniss wie in der zweiten rechnung

19.09.2011, 18:09

Alive-and-well

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deine beiden Ausdrücke sind (zumindest für n>0, bei der Wurzel aus einer negativen Zahl muss man sowieso immer sehr vorsichtig sein!) gleich.
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n\sqrt[]{\frac{x}{n}}} = \frac{1}{2\sqrt[]{xn}} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall n > 0 \end{eqnarray*}$

19.09.2011, 18:12

Ascareth

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OMG, du hast recht! smile

Die Wurzel darf ja über Faktoren eines Produkts verteilt werden. Dann darf ich natürlich auch die Faktoren unter die Wurzel schreiben. Ich war so auf die Kettenregel fixiert, und auf das andere Ergebnis, dass ich das gar nicht beachtet hatte.

Danke Augenzwinkern

PS: Nee moment mal. Das leutet mir doch nicht ein. Wie?

19.09.2011, 18:17

Ascareth

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Wie bekomme ich das n unter die Wurzel?

Müsste ich dafür denn nicht ein wurzel(n) haben, damit das geht?

19.09.2011, 18:20

schultz

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n ist ja das gleiche wie $\begin{eqnarray*} \sqrt{n^2} \end{eqnarray*}$ , so kannst du es dann unter die wurzel ziehen

19.09.2011, 18:22

Ascareth

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also schreibe ich n^2 unter die wurzel, und kürze n^2 gegen n.

19.09.2011, 18:26

Alive-and-well

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Zitat:

Original von schultz
n ist ja das gleiche wie $\begin{eqnarray*} \sqrt{n^2} \end{eqnarray*}$ , so kannst du es dann unter die wurzel ziehen

$\begin{eqnarray*} n \neq \sqrt{n^2} \end{eqnarray*}$

das ist nicht das GLEICHE!!

das gilt nur für positive n!

$\begin{eqnarray*} |n| = \sqrt{n^2} \end{eqnarray*}$

BSP

$\begin{eqnarray*} -4 \neq \sqrt{(-4)^2} = 4 \end{eqnarray*}$

19.09.2011, 18:50

schultz

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Zitat:

Original von Alive-and-well
deine beiden Ausdrücke sind (zumindest für n>0, bei der Wurzel aus einer negativen Zahl muss man sowieso immer sehr vorsichtig sein!) gleich.
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n\sqrt[]{\frac{x}{n}}} = \frac{1}{2\sqrt[]{xn}} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall n > 0 \end{eqnarray*}$

da du hier schon n>0 vorrausgesetzt hast, hab ich mir das mal erspart...

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