Die Asymptote, wer nähert sich da eigentlich wem an?

19.09.2011, 18:08

Daniel1

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Die Asymptote, wer nähert sich da eigentlich wem an?

Meine Frage:
Hallo,

ich weiß, oder glaube zu wissen, das die Asymptote eine Gerade, Parabel oder ein sonstiges Polynom ist das sich einer anderen Gerade, Parabel etc. annähert.

Ich möchte nur gerne wissen wie man unterscheidet wer sich da wem annähert? Wie erkennt man im Unendlichen oder durch den Term das sich f(x) an z(x) nähert und nicht umgekehrt? Oder kann man beide als Asymptote betrachten?

Und warum werden fast alle Kurven etc. im unendlichen als Asymptote bezeichnet?

Meine Ideen:
Ich vermute das man es am Term ablesen kann, möglicherweise kann man aber beides als Asymptote bezeichnen.

19.09.2011, 18:15

lgrizu

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RE: Die Asymptote, wer nähert sich da eigentlich wem an?
Eine Funktion nähert sich asymptotisch an, wenn sie sich in der Grenzwertbildung an eine andere Funktion annähert, ohne diese jedoch zu schneiden oder zu berühren.

Betrachten wir einmal die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^3+x^2+x+1}{x-1} \end{eqnarray*}$ , Polynomdivision führt uns auf:
$\begin{eqnarray*} (x^3+x^2+x+1) : (x-1)=x^2+2x+3+\frac{4}{x-1} \end{eqnarray*}$ .

Betrachten wir nun den Grenzwert gegen -unendlich, so sehen wir, dass der letzte Summand verschwindet, also gegen 0 geht, die Funktion f nähert sich der Asymptote $\begin{eqnarray*} g(x)=x^2+2x+3 \end{eqnarray*}$ an.

19.09.2011, 18:17

Daniel1

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RE: Die Asymptote, wer nähert sich da eigentlich wem an?
Die Asymptote ist doch die Kurve die sich annähert? Aber warum nähert sich f(x) an g(x) an und nicht umgekehrt? Nähern sich nicht beide gegenseitig an?

19.09.2011, 18:22

lgrizu

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RE: Die Asymptote, wer nähert sich da eigentlich wem an?
Die Asymptote einer Funktion f sind die Funktionen g_i, für die gilt: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pm \infty} f(x)=g_i(x) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} f(x)=\pm \infty \end{eqnarray*}$ , wobei x_0 eine Definitionslücke sein kann.

Der Index ist dazu da, damit man sieht, dass es mehrere Asymptoten geben kann.

In der obigen Funktion ist eine Asymptote x=1 und die andere ist x²+2x+3.

19.09.2011, 18:29

Daniel1

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RE: Die Asymptote, wer nähert sich da eigentlich wem an?

Zitat:

Original von lgrizu
Nein, die Asymptote einer Funktion f sind die Funktionen g_i, für die gilt: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pm \infty} f(x)=g_i(x) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} f(x)=g_i(x) \end{eqnarray*}$ , wobei x_0 eine Definitionslücke sein kann.

Der Index ist dazu da, damit man sieht, dass es mehrere Asymptoten geben kann.

In der obigen Funktion ist eine Asymptote x=1 und die andere ist x²+2x+3.

Naja, aber nähert sich die Parabel nicht auch in gewisserweise an f(x) an?

Denn

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pm \infty} f(x)=g_i(x) \end{eqnarray*}$

ist doch das selbe wie

$\begin{eqnarray*} g_i(x)=\lim_{x \to \pm \infty} f(x) \end{eqnarray*}$

19.09.2011, 18:32

Leopold

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RE: Die Asymptote, wer nähert sich da eigentlich wem an?

Zitat:

Original von lgrizu
Die Asymptote einer Funktion f sind die Funktionen g_i, für die gilt: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pm \infty} f(x)=g_i(x) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} f(x)=g_i(x) \end{eqnarray*}$ , wobei x_0 eine Definitionslücke sein kann.

unglücklich

Das ist aber nun gar nicht richtig. unglücklich

unglücklich

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19.09.2011, 18:38

lgrizu

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RE: Die Asymptote, wer nähert sich da eigentlich wem an?
Hab das editiert, den Grenzwert gegen die Definitionslücke.

19.09.2011, 18:44

Daniel1

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RE: Die Asymptote, wer nähert sich da eigentlich wem an?
Sorry wahrscheinlich bin ich schwer von Begriff. Du hast mir zwar die Asymptote definiert, aber meiner Meinung nach gehen beide Kurven/Gerade ins unendliche. Beide verlaufen aneinander. Beide "schmiegen" sich aneinander. Ist eine eine Konstante und eine nähert sich nur an? Wie erkennt man das? Ich vermute das ich das aus deiner Arguementation herauslesen können müsste - kann ich aber leider nicht unglücklich

unglücklich

19.09.2011, 18:51

Leopold

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RE: Die Asymptote, wer nähert sich da eigentlich wem an?

Zitat:

Original von lgrizu
Die Asymptote einer Funktion f sind die Funktionen g_i, für die gilt: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pm \infty} f(x)=g_i(x) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} f(x)=\pm \infty \end{eqnarray*}$ , wobei x_0 eine Definitionslücke sein kann.

Das stimmt so nicht. Bei einem Grenzübergang kann das Ergebnis des Limes die Variable niemals enthalten.

Man sagt: $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ nähert sich für $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$ asymptotisch an $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ an, wenn gilt: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \left( f(x) - g(x) \right) = 0 \end{eqnarray*}$

Mehr ist nicht verlangt, aber auch nicht weniger.

19.09.2011, 18:56

Daniel1

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RE: Die Asymptote, wer nähert sich da eigentlich wem an?

Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von lgrizu
Die Asymptote einer Funktion f sind die Funktionen g_i, für die gilt: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pm \infty} f(x)=g_i(x) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} f(x)=\pm \infty \end{eqnarray*}$ , wobei x_0 eine Definitionslücke sein kann.

Das stimmt so nicht. Bei einem Grenzübergang kann das Ergebnis des Limes die Variable niemals enthalten.

Man sagt: $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ nähert sich für $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$ asymptotisch an $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ an, wenn gilt: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \left( f(x) - g(x) \right) = 0 \end{eqnarray*}$

Mehr ist nicht verlangt, aber auch nicht weniger.

Das zu berechnen ist nicht das Problem. Mehr ist es ein Problem das zu verstehen.
Wenn ich zwei Geraden habe die sich annähern dann sind doch beides Asymptoten. Oder nähert sich nur eine Gerade/Kurve sich an?

19.09.2011, 19:02

Leopold

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Zwei verschiedene Geraden können sich nicht einander annähern.

Ansonsten ist das eine Frage des Standpunktes. In der Regel ist eine Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ vorgegeben, und man sucht eine "einfachere" Funktion $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ , was auch immer das heißen mag, die sich etwa für $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$ beliebig wenig von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ unterscheidet. Man sagt dann: $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ nähert sich $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ an. Natürlich ist auch das Umgekehrte richtig. Aber $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ war halt vorher da.

19.09.2011, 19:39

Daniel1

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Zitat:

Original von Leopold
Zwei verschiedene Geraden können sich nicht einander annähern.

Ansonsten ist das eine Frage des Standpunktes. In der Regel ist eine Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ vorgegeben, und man sucht eine "einfachere" Funktion $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ , was auch immer das heißen mag, die sich etwa für $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$ beliebig wenig von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ unterscheidet. Man sagt dann: $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ nähert sich $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ an. Natürlich ist auch das Umgekehrte richtig. Aber $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ war halt vorher da.

Achso, Danke smile

smile

Dann könnte man also beides als Asymptote bezeichnen - je nach Blickwinkel.

20.09.2011, 17:14

Daniel1

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RE: Die Asymptote, wer nähert sich da eigentlich wem an?
Hallo,

ich bins nochmal. Ich habe mich heute noch einmal erkundigt un bin im Internet auf zwei Dinge gestoßen:

Wikipedia Eintrag:

Eine Asymptote (von altgriechisch ἀÃÍ¼ÀÄÉÄ¿Â, asýmptMtos, „nicht übereinstimmend“, vom Verb ÃÅ¼À¯ÀÄµ¹½, altgriechische Aussprache sympíptein, „übereinstimmen, zusammenfallen“, zusammengesetzt aus syn, „mit, zusammen“ und píptein, „fallen“[1]) bezeichnet in der Mathematik, vereinfachend ausgedrückt, eine Kurve von einer bestimmten Form, die sich einer vorgegebenen Kurve in einem Grenzprozess „beliebig annähert“. Die Definition von „Asymptote“ ist uneinheitlich, man unterscheidet im Wesentlichen zwei Bedeutungen: Die Asymptoten einer Kurve und die Asymptoten einer Funktion.

und online-mathe.de:
Nähert sich der Graph einer Funktion einer Geraden immer mehr an, ohne sie zu schneiden, so wird diese Gerade Asymptote genannt.

Ich möchte nun wissen was stimmt? Laut Wikipediaartikel und der Diksussion hier müsste die Asymptote die Kurve sein die sich etwas annähert.

online-mathe nach ist die Asymptote die Gerade an die sich etwas annähert. Und damit die Asymptote.

21.12.2011, 22:14

mYthos

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Die Kurve nähert sich der Asymptote an und nicht umgekehrt. Denn die Kurve ist zuerst da und erst aus ihrer Existenz und ihrem Verlauf ergibt sich eine allfällige Asymptote (Asymptotenkurve).

Die Asymptote ist üblicherweise eine Gerade. Falls sie keine Gerade ist, spricht man genauer von einer Asymptotenkurve. Deren Grad ist (bei Polynomfunktionen) niedriger als der Grad der gegebenen Funktion.

Z.B. hat die Funktion (rot)

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac {x^3 + 8}{x - 2} \end{eqnarray*}$

die Asymptotenkurve (grün)

$\begin{eqnarray*} a(x) = x^2 + 2x + 4 \end{eqnarray*}$

mY+

22.12.2011, 01:19

Dopap

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bliebe noch der Aspekt, dass manchmal eine senkrechte Gerade auch Asymptote genannt wird, obwohl der senkrechte Abstand ( parallel zur y-Achse ) nicht "Null" wird, sondern nur der "waagrechte" Abstand.

[Wer sich wem nähert ist klar , Unentschiedene gibt es höchstens noch bei der yellow-press Big Laugh

Big Laugh

]

22.12.2011, 02:53

chili_12

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Welche Funktion sich welcher annähert hängt keineswegs davon ab welche zuerst da war.

Sonst könnte ich ja zu jeder beliebiger Funktion 1/x addieren und hätte eine Asymptotenkurve.

Es geht vielmehr darum, dass die Funktion, die sich der Asymptote annähert, aus dieser +/- einem Funktionenteil besteht der gegen Null geht.

Also a(x) ist dann Asymptote zu f(x) wenn gilt f(x) = a(x)+/-n(x) wobei n(x) gegen null geht. Auch diese Definition ist nicht komplett richtig aber ich denke die Idee was nun Asymptote ist und was sich annähert kommt rüber.

mfg

22.12.2011, 22:10

Dopap

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Zitat:

Original von chili_12
Welche Funktion sich welcher annähert hängt keineswegs davon ab welche zuerst da war.

Sonst könnte ich ja zu jeder beliebiger Funktion 1/x addieren und hätte eine Asymptotenkurve.

ja, warum eigentlich nicht?.

Nur ist dann die Asymptote meistens "komplizierter" wie das Original.

25.12.2011, 17:48

Xylo

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RE: Die Asymptote, wer nähert sich da eigentlich wem an?

Zitat:

Original von lgrizu
Eine Funktion nähert sich asymptotisch an, wenn sie sich in der Grenzwertbildung an eine andere Funktion annähert, ohne diese jedoch zu schneiden oder zu berühren.

Das ist falsch! Warum sollen sie sich nicht schneiden?

25.12.2011, 18:30

Dopap

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mit "falsch" immer vorsichtig sein.
Per Definition ist der Grenzwert für x nach unendlich angegeben. Das schliesst aber Berühren oder gar Schneiden aus.

25.12.2011, 20:42

Gastmathematiker

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Doch, "falsch" ist schon richtig. Die Definition von Leopold, darüber dass der Grenzwert der Differenz der Funktion und der Asymptote 0 wird, ist die Allgemein übliche. Und auch wenn sich die Funktionen schneiden, berühren oder gar übereinstimmen, hat man trotzdem eine Asymptote, da der GW ja 0 wird.

25.12.2011, 22:14

Dopap

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Zitat:

Original von Gastmathematiker
... hat man trotzdem eine Asymptote, da der GW ja 0 wird.

Da hast du das Wesen eines Grenzwertes $\begin{eqnarray*} x\to \color {red}{\infty} \end{eqnarray*}$

noch nicht verinnerlicht.

25.12.2011, 22:57

Gastmathematiker

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Das scheint woher andersrum das Problem zu sein. Löse dich von dieser rein anschaulichen Definition ala "nähert sich immer mehr an".

Zum Beispiel ist in der Definition, die Leopold angegeben hat die Funktion $\begin{eqnarray*} \mathbb{R_+^*}\rightarrow\mathbb{R},\,x\mapsto0 \end{eqnarray*}$ eine Asymptote von $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R_+^*}\rightarrow\mathbb{R},\,x\mapsto\frac{\sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$ , obwohl die Nullfunktion die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sogar unendlich oft schneidet.

25.12.2011, 23:06

Dopap

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ja, schon, aber es geht immer um $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to \infty}f(x) \end{eqnarray*}$

ist der Unterschied nur klar oder brauchen wir noch ein paar Glühweine Prost

Prost

25.12.2011, 23:10

Gastmathematiker

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Ja, davon rede ich doch die ganze Zei.
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty} f(x)-0=\lim\limits_{x\rightarrow\infty} f(x)=0. \end{eqnarray*}$
Wobei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ natürlich die Funkon aus meinem Beitrag eben ist.

26.12.2011, 15:21

Gastmathematiker

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Um noch zur eigentlichen Frage zurückzukommen. Die Eigenschaft, Asymptote zu sein, ist eine sogenannte Äquivalenzrelation. Ist also $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ eine Asymptote von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auch eine Asymptote von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ .

Ist also nur die Frage nache einer (beliebigen) Asymptote einer Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , so könnte man auch $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ selber als Asymptote angeben.

Sinnvoll ist natürlich eher die Frage nach einer möglichst einfachen Asymptote, ohne es dazuzusagen ist das in der Schule auch immer die Aufgabe, wobei man unter einer einfachen Funktion hier meistens Polynome oder Exponentialfunktionen versteht.

@chili_12: Das was du gesagt hast passt schon, auch wenn +/- hier natürlich unnötig ist und + reicht. Aber die Äquivalenzklasse aller Asymptoten einer Funktion $\begin{eqnarray*} f: D\rightarrow\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ kann man schreiben als $\begin{eqnarray*} \{f+n|\,n: D\rightarrow\mathbb{R},\lim\limits_{x\rightarrow\infty}n(x)=0\} \end{eqnarray*}$ . Wobei $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ halt normalerweise ein Intervall der Form $\begin{eqnarray*} (a,\infty) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb{R}\cup\{-\infty\} \end{eqnarray*}$ .

Analog mit einer Asymptote gegen minus unendlich.

28.12.2011, 14:18

Xylo

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Dopap,
du scheinst es wirklich nicht zu verstehen. (Vielleicht zuviel Glühwein?)

Betrachte z.B. die Funktion e^(-x)*sin(x)
Ist die x-Achse eine Asymptote?
Schneidet die Kurve die x-Achse? (wie oft denn?)

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