Vektorrechnung

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19.09.2011, 19:38	dracon	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorrechnung Meine Frage: 1 2 3 4 A= -1 -4 2 1 3 5 -3 6, Welche Dimension hat die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems Ax=b mit b ungleich 0 ? Meine Ideen: Gaußsches Eliminationsverfahren vermutung als Lösungsweg komme aber nicht auf die Dimension.
19.09.2011, 20:41	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorrechnung Dann lasse doch erst mal den Gauß darauf los, schreibe $\begin{eqnarray} b=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Man kann auch den Lösungsvektor erst einmal weglassen und den Rang der Matrix ausrechnen.
19.09.2011, 21:03	dracon	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorrechnung ich kann es irgendwie nicht ausrechnen, bei mir bleibt was übrig
19.09.2011, 21:06	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorrechnung Was hast du denn bisher gemacht, was bleibt übrig? Mach deinen bisherigen Rechenweg einmal vor. Um Mtrizen zu schreiben kannst du unseren Formeleditor verwenden.
19.09.2011, 21:16	dracon	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorrechnung $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & -21 & -8 \\ 0 & 0 & 8 & 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ich habe dann sowas raus Edit lgrizu: Latex-tabs ergänzt
19.09.2011, 21:24	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorrechnung Okay, ich sehe nicht, wie du darauf kommst. Wir haben: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1& 2& 3& 4 \\-1& -4& 2 &1\\3& 5 &-3& 6\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Nun addieren wir die erste Zeile zur zweiten und das (-3)-fache der ersten Zeile zur dritten und erhalten: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1& 2& 3& 4 \\0& -2& 5 &5\\0& -1 &-12& -6\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Nun addieren wir die zweite Zeile zum -2-fachen der dritten Zeile und erhalten: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1& 2& 3& 4 \\0& -2& 5 &5\\0& 0 &29& 17\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Nun gut, wenn wir nun ein LGS lösen wollten mit einem beliebigen Lösungsvektor müssten wir was tun?
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19.09.2011, 21:42	dracon	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorrechnung man soll x berechnen
19.09.2011, 22:01	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorrechnung Diese Antwort sagt mir nun gar nichts. Du sollst doch die Dimension des Lösungsraums bestimmen. Der Rang der Matrix ist 3, also ist eine Unbekannte zu parametrisieren, welche Dimension ergibt sich dadurch? Wir schreiben das ganze mal mit Lösungsvektor auf: Wir haben das LGS: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1& 2& 3& 4 \\0& -2& 5 &5\\0& 0 &29& 17\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_2\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Die letzte Zeile liefert: $\begin{eqnarray} 29x_3+17x_4=a_3 \end{eqnarray}$ Wir parametrisiern zum Beispiel $\begin{eqnarray} x_4= \lambda \end{eqnarray}$ und erhalten: $\begin{eqnarray} x_3=\frac{a_3}{29}-\frac{17}{29} \lambda \end{eqnarray}$ Wenn du nun x_1 und x_2 ausrechnest in abhängigkeit von lambda erhälst du einen Lösungsraum, der weche Dimension hat?
19.09.2011, 22:08	dracon	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorrechnung 3 ist es richtig
19.09.2011, 22:35	dracon	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorrechnung Danke
20.09.2011, 08:29	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorrechnung Nein, der Lösungsraum hat nicht die Dimension 3. Hast du denn x_2 und x_1 einmal ausgerechnet?
21.09.2011, 14:21	dracon	Auf diesen Beitrag antworten »
ja ich habe das hier raus X1=a1+a2+(8/29)a3+(125/29)K X2=(30/29)K+(5/58)a3-(a2/2) X3=a3/29-(17/29)K
21.09.2011, 14:41	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, gehen wir einmal davon aus, dass du richtig gerechnet hast, dann haben wir: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1+a_2+\frac{8}{29}a_3 \\ \\ \frac{5}{58}a_2-\frac{1}{2}a_2 \\ \\ \frac{1}{29}a_3\end{pmatrix}+ \lambda \cdot \begin{pmatrix}\frac{125}{29} \\ \\ \frac{30}{29} \\ \\-\frac{17}{29}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Woran erinnert dich diese Parameterdarstellung?
21.09.2011, 15:32	dracon	Auf diesen Beitrag antworten »
ich vermute es ist eine Gerade
21.09.2011, 15:43	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, und welche Dimension hat eine Gerade?
21.09.2011, 15:49	dracon	Auf diesen Beitrag antworten »
1
21.09.2011, 15:57	dracon	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe noch eine Frage, geht es nicht leichter, wenn ich den Rang der Matrix berechne und dann Dim=Anzahl der Variablen-Rang?
21.09.2011, 16:02	dracon	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Problem was ich hier hatte war, dass ich den Rang der Matrix nicht berechnen konnte.
21.09.2011, 16:20	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst ist die Dimension des Lösungsraumes 1, das ist korrekt. Die Anzahl der Parameter gibt auch die Dimension an, das ist auch korrekt.
21.09.2011, 16:26	dracon	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja aber wie berechne, ich hier den Rang?
21.09.2011, 16:29	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Rang ist die Anzahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren, den kann man sehen, wenn man die Matrix auf Zeilenstufenform gebracht hat, indem man einfach alle Zeilen zählt, die keine Nullzeilen sind.
21.09.2011, 16:34	dracon	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen Dank

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