Bidualraum

19.09.2011, 23:08	martha.1981	Auf diesen Beitrag antworten »
Bidualraum Ich habe ein Problem mit einer Aufgabe. Sie lautet: Für den Bidualraum von V existiert eine kanonische Abbildung $\begin{eqnarray} \iota: V\to V^{}, v\mapsto \iota_v(\varphi):=\varphi(v) \end{eqnarray}$ Zeigen Sie, dass diese Abbildung ein Isomorphismus ist, falls V endlich-dimensional ist. Okay, ich verstehe den Biadualraum V als Dualraum des Dualraumes von V so, dass die Elemente von V alle Abbildungen (Homomorphismen) sind, die Hoomorphismen von V nach K ihrerseits auf K abbilden. Also Funktionale sind. Aber zu aller erst verstehe ich die Definition des $\begin{eqnarray} \iota \end{eqnarray}$ oben nicht. Was macht es? Und was ist das $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ? Einschätzung: Das Iota bildet Vektoren aus V auf Funktionale in V** ab. Und es ex. zu jedem v in V ein Funktional $\begin{eqnarray} \iota_v\in V^{} \end{eqnarray}$ welches wiederum ein Funktional aus V* auf dessen Bild von v abbildet. Sehe ich das richtig? Kopfkrämpfe . m.
20.09.2011, 05:11	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Einschätzung ist richtig. Statt $\begin{eqnarray} \iota(v) \end{eqnarray}$ schreibt man der Kürze wegen $\begin{eqnarray} \iota_v \end{eqnarray}$ , damit da am Ende nicht sowas wie $\begin{eqnarray} \iota(v)(\varphi) \end{eqnarray}$ steht. Warum Kopfkrämpfe? Es gibt doch nichts schöneres

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