Beweis mittels Vollständiger Induktion

27.12.2006, 14:55

lonesome-dreamer

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Beweis mittels Vollständiger Induktion

Hallo,
ich hänge mal wieder bei der Vollständigen Induktion.
Obwohl ähnliche Aufgaben hier schon besprochen wurden, bin ich nicht weiter gekommen.

Es soll bewiesen werden, dass
$\begin{eqnarray*} \left( 1+\frac{1}{n} \right) ^n\ \geq \left (1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} \end{eqnarray*}$

So weit bin ich bisher gekommen: $\begin{eqnarray*} \left(\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}\right)^n \geq \frac{n+1}{n+2} \end{eqnarray*}$

Jetzt hab ich hier gelesen, dass man da die Bernoullische Ungleichung anwenden kann.
Ich weiß aber nicht wie. Kann mir da bitte jemand auf die Sprünge helfen?

Gruß
Natalie

27.12.2006, 16:56

SilverBullet

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Zitat:

Es soll bewiesen werden, dass
$\begin{eqnarray*} \left( 1+\frac{1}{n} \right) ^n\ \geq \left (1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Sicher ?
Also wenn ich da einfach mal für n = 1 einsetzte erhalte ich :

$\begin{eqnarray*} (1+\frac 1 1 )^1 \geq (1+\frac 1 2)^2 \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} 2 \geq 2.25 \end{eqnarray*}$

Also entweder haste dich da beim abschreiben vertan oder ich weiß auch nicht Big Laugh

Big Laugh

27.12.2006, 17:32

Mathespezialschüler

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Soll sicher

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n\leq\left (1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} \end{eqnarray*}$

heißen. Dann kommt man auf die dazu äquivalente Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\right)^{n+1}\geq \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kann man den Term in der Klammer etwas umschreiben:

$\begin{eqnarray*} \frac{n(n+2)}{(n+1)^2}=\frac{((n+1)-1)((n+1)+1)}{(n+1)^2} =\frac{(n+1)^2-1^2}{(n+1)^2}=1-\frac{1}{(n+1)^2} \end{eqnarray*}$ .

Nun Bernoulli. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber was hat das Ganze mit Induktion zu tun? verwirrt

verwirrt

Gruß MSS

27.12.2006, 20:16

lonesome-dreamer

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Ja, das Zeichen muss natürlich anders rum sein. Sorry.
Also so:

$\begin{eqnarray*} \left( 1+\frac{1}{n} \right) ^n\ \leq \left (1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Dann ist das x aus der Bernoulli-Ungleichung also:
$\begin{eqnarray*} x=-\frac{1}{(n+1)^2} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Aber was hat das Ganze mit Induktion zu tun?

Ich dachte, dass das, was ich mache, um die Ungleichung zu beweisen, Vollständige Induktion ist.
Oder irre ich mich da?

27.12.2006, 20:28

Mathespezialschüler

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Nein, das hat nichts mit vollständiger Induktion zu tun.
Hast du es denn jetzt so hinbekommen?

Gruß MSS

27.12.2006, 20:51

lonesome-dreamer

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Ich hab das jetzt in die Bernoulli-Ungleichung eingesetzt.
Also, für $\begin{eqnarray*} x=-\frac{1}{(n+1)^2} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \left (1- \frac{1}{(n+1)^2}\right )^n \geq 1-\frac{n}{(n+1)^2} \end{eqnarray*}$

Dieser letzte Schritt mit der Bernoulli-Ungleichung hat mich jetzt aber so verwirrt, dass ich total den Faden verloren habe, was überhaupt zu beweisen ist und wie es weitergeht. traurig

traurig

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27.12.2006, 21:34

Mathespezialschüler

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Gehe lieber von Folgendem aus:

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
$\begin{eqnarray*} \left(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\right)^{n+1}\geq \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$ .

Wenn du da auf der linken Seite Bernoulli anwendest, solltest du es haben.

Gruß MSS

28.12.2006, 12:15

lonesome-dreamer

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Gehe lieber von Folgendem aus:

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
$\begin{eqnarray*} \left(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\right)^{n+1}\geq \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$ .

Kannst du bitte mal aufschreiben, wie du auf die Beziehung kommst und wie man darauf dann Bernoulli anwendet?
Ich finde das noch komplizierter, als die Ungleichung, auf die ich gekommen bin.
Warum kann ich damit nicht weiter rechnen?

28.12.2006, 12:50

Mathespezialschüler

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Deine Ungleichung ist falsch, das wurde weiter oben schon gesagt. Das Relationszeichen war ja bei dir sowieso von Anfang an falschrum. Richtig müsste deine Ungleichung so lauten:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}\right)^n\leq \frac{n+2}{n+1} \end{eqnarray*}$ .

Das bringt dir aber nichts, weil du auf der linken Seite etwas hast, was du mit Bernoulli nur nach unten abschätzen kannst (in Bernoulli steht ein $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ ), du musst es aber nach oben abschätzen. Auf meine Ungleichung kommt man, wenn man die Ungleichung oben einfach mit

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{n+2}\cdot\left(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\right)^{n+1} \end{eqnarray*}$

multipliziert.

28.12.2006, 13:56

lonesome-dreamer

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Oh ja. Da hab ich mich beim Abtippen vertan.
Auf meinem Blatt hab ich's richtig aufgeschrieben.

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\right)^n \geq \frac{n+1}{n+2} \end{eqnarray*}$
Das kann man doch jetzt aber mit Bernoulli nach oben abschätzen, oder?

28.12.2006, 14:12

Mathespezialschüler

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Wenn überhaupt, schätzt du die linke Seite mit Bernoulli nach unten ab. Das ist hier zwar möglich, aber wenn du die Ungleichung zunächst mit $\begin{eqnarray*} \frac{n(n+2)}{(n+1)^2} \end{eqnarray*}$ multiplizierst und dann Bernoulli anwendest, ginge es etwas direkter.

Gruß MSS

28.12.2006, 14:49

lonesome-dreamer

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Ok, das hab ich jetzt so weit nach vollzogen.

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\right)^{n+1} \geq \frac{n}{n+1} \\ \left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^{n+1} \geq \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

Nun wende ich Bernoulli an:
$\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^{n+1} \geq 1+n \left(-\frac{1}{(n+1)^2}\right)=1-\frac{n}{(n+1)^2} \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

28.12.2006, 20:20

klarsoweit

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Zitat:

Original von lonesome-dreamer
Nun wende ich Bernoulli an:
$\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^{n+1} \geq 1+n \left(-\frac{1}{(n+1)^2}\right) \end{eqnarray*}$

Also wenn, dann so:
$\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^{n+1} \geq 1+ (n+1) \cdot \left(-\frac{1}{(n+1)^2}\right) \end{eqnarray*}$

29.12.2006, 11:02

lonesome-dreamer

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Und weiter vereinfacht dann:
$\begin{eqnarray*} 1+ (n+1) \cdot \left(-\frac{1}{(n+1)^2}\right)=\frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$
Und das war zu zeigen, richtig?

30.12.2006, 03:59

Mathespezialschüler

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Ja.

Gruß MSS

30.12.2006, 11:39

lonesome-dreamer

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Vielen Dank für deine Hilfe.

Gruß
Natalie

17.05.2007, 12:04

Sverige

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Ich hab eine ähnliche Aufgabe und komme auch mit den vorherigen Tipps leider nicht mehr weiter. Ich stehe wahrscheinlich einfach nur tierisch auf dem Schlauch.

Also ich muss beweisen, dass

$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n} )^{n+1} \leq (1+\frac{1}{n-1})^{n} \end{eqnarray*}$

Ich habe auch schon umgeformt und habe jetzt noch stehen

$\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{n} \geq (1-\frac{1}{n^2} )^{n} \end{eqnarray*}$

So nun hab ich leider keine Ahnung wie ich da die Bernoullische Ungleichung rein bringen soll.

Ich bin dankbar für jede HIlfe. unglücklich

unglücklich

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