Volumenberechnung eines Tetraeders

20.09.2011, 11:37

134340

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Volumenberechnung eines Tetraeders

Ich grübel schon seit heute Morgen über dieses Thema.
Also folgendes Problem: Ich habe eine Pyramide gegeben deren Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck darstellt. Die Grundseiten sind durch $\begin{eqnarray*} a\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ definiert. Die Seitenkanten sind mit a gegeben. Jetzt fehlt mir aber leider die Höhe.

Die Frage lautet "Wie groß ist das Volumen der Pyramide (ausgedrückt durch a)?"

P.S. Ich hoffe ich habe meine Problem verständlich geschildert Wink

Wink

20.09.2011, 11:58

riwe

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RE: Volumenberechnung eines Tetraeders
naja grüble mit dem pythagoras und skizze:

$\begin{eqnarray*} H^2=a^2-(\frac{2}{3}h_{gls\Delta})^2 \end{eqnarray*}$

20.09.2011, 13:25

134340

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Ich habs, ich hoffe wir haben die gleichen Bezeichnungen.
$\begin{eqnarray*} h=\sqrt{a^2-a} -\frac{1}{2} a \end{eqnarray*}$

Danke für deine Hilfe Freude

Freude

20.09.2011, 13:37

riwe

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Zitat:

Original von 134340
Ich habs, ich hoffe wir haben die gleichen Bezeichnungen.
$\begin{eqnarray*} h=\sqrt{a^2-a} -\frac{1}{2} a \end{eqnarray*}$

Danke für deine Hilfe Freude

Freude

abgesehen von formalen fehlern in deiner gleichung haben wir auch nicht dieselben bezeichner.

mein ergebnis schaut dementsprechend ganz anders aus.

auf ein neues:

die gleichung der höhe h im gleichseitigen dreieck mit der seite s ist verwirrt

verwirrt

20.09.2011, 14:15

134340

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Die Höhe im gleichseitigen Dreieck berechnet man durch $\begin{eqnarray*} h=\frac{a}{2} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ . Dadurch ist die Höhe einer der Seitenkanten definiert. Wenn ich nun diese Höhe und die hälfte einer der Grundseiten sowie die höhe der Pyramide in den Pythagoras einsetze, kann ich nach der Höhe der Pyramide umstellen und sie somit berechnen.
Da die Grundseite mit $\begin{eqnarray*} a\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ gegeben ist, ist die hälfte davon $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} a\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ , damit habe ich jetzt die erste Kathete. Die zweite ist nun die Höhe eines der Seitendreiecke, die ich durch $\begin{eqnarray*} h=\frac{a}{2} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ gegeben habe.
Noch mal im Pythagoras zusammmen gefasst: $\begin{eqnarray*} h=\sqrt{\left(\frac{1}{2}(a\sqrt{2}) \right)^2 - \left(\frac{a}{2} \sqrt{3} \right)^2 } \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

20.09.2011, 14:42

riwe

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RE: Volumenberechnung eines Tetraeders

Zitat:

Original von 134340
Ich grübel schon seit heute Morgen über dieses Thema.
Also folgendes Problem: Ich habe eine Pyramide gegeben deren Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck darstellt. Die Grundseiten sind durch $\begin{eqnarray*} a\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ definiert. Die Seitenkanten sind mit a gegeben. Jetzt fehlt mir aber leider die Höhe.

Die Frage lautet "Wie groß ist das Volumen der Pyramide (ausgedrückt durch a)?"

P.S. Ich hoffe ich habe meine Problem verständlich geschildert Wink

Wink

bearbeitest du eine andere aufgabe verwirrt

verwirrt

hier steht doch: die grundfläche der pyramide bildet ein gleichseitiges dreieck mit der seitenlänge $\begin{eqnarray*} s = a\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ , wobei a die länge einer seitenkante der pyramide ist.

wie gr0ß ist nun die höhe h der grundfläche verwirrt

verwirrt

nicht $\begin{eqnarray*} h =\frac{a}{2}\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ sondern verwirrt

verwirrt

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20.09.2011, 14:52

134340

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Die Höhe der Pyramide is meiner Meinung nach $\begin{eqnarray*} h=\sqrt{\left(\frac{1}{2}(a\sqrt{2}) \right)^2 - \left(\frac{a}{2} \sqrt{3} \right)^2 } \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} h=\frac{a}{2} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ ist nur die höhe eines Seitendreiecks.

Ich werde am besten mal eine Skizze hochladen.

20.09.2011, 15:15

riwe

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Zitat:

Original von 134340
Die Höhe der Pyramide is meiner Meinung nach $\begin{eqnarray*} h=\sqrt{\left(\frac{1}{2}(a\sqrt{2}) \right)^2 - \left(\frac{a}{2} \sqrt{3} \right)^2 } \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} h=\frac{a}{2} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ ist nur die höhe eines Seitendreiecks.

Ich werde am besten mal eine Skizze hochladen.

ich brauche eigentlich keine skizze.
du beharrst offensichtlich auf deiner weisheit unglücklich

unglücklich

und lehnst es ab, auf meine vorschläge auch nur annähernd einzugehen, ok unglücklich

unglücklich

tipp: setze a = 1 und werte die wurzel aus Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.09.2011, 15:59

134340

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Ich mein ja auch keine Skizze für dich zum verstehen der Aufgabe, sondern damit du verstehst, wo meine kauderweltsche Gleichung herkommt.

Zitat:

du beharrst offensichtlich auf deiner weisheit unglücklich

unglücklich

und lehnst es ab, auf meine vorschläge auch nur annähernd einzugehen, ok unglücklich

unglücklich

Tue ich nicht, ich hab nur versucht dir zu zeigen, woher meine Gleichung kommt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich habe doch auch deine Vorschläge mit in die Gleichung eingebaut.

20.09.2011, 16:16

riwe

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dann halt ein bilderl von mir und die frage:
die seite des gleichseitigen grunddreiecks sei s, wie groß ist dann die höhe h des gleichseitigen 3ecks verwirrt

verwirrt

20.09.2011, 16:26

134340

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$\begin{eqnarray*} h=\frac{s}{2} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ ist die Formel für die Höhes des gleichseitigen Dreiecks mit $\begin{eqnarray*} s= a\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

20.09.2011, 16:34

riwe

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richtig, dann setze doch für s einmal ein

h = verwirrt

verwirrt

20.09.2011, 16:56

134340

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$\begin{eqnarray*} h=\frac{a\sqrt{2}}{2} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ Jetzt habe ich die höhe der Grundseite, aber wie berechne ich daraus das Volumen?

20.09.2011, 17:22

riwe

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ja das ist nun einmal richtig, man kann es allerdiungs ein bißerl hübscher malen

$\begin{eqnarray*} h=\frac{a}{2}\sqrt{6} \end{eqnarray*}$

nun wissen wir, dass der schwerpunkt S die seitenhalbierende im verhältnis 2: 1 teilt, daher gilt - mit dem punkt C des 3ecks oben und der spitze der pyramide D:

$\begin{eqnarray*} |CS| =\frac{2}{3}h \end{eqnarray*}$ und | $\begin{eqnarray*} CD|=a \end{eqnarray*}$

was sagt uns nun pythgoras zur höhe H der pyramide Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.09.2011, 18:01

134340

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Also $\begin{eqnarray*} | SD | ^2 = | SC | ^2 + | CD | ^2 \end{eqnarray*}$ somit kann man jetzt die Höhe berechnen.

$\begin{eqnarray*} | SD | ^2 = | SC | ^2 + | CD | ^2 \Rightarrow \left(\frac{2}{3}*\frac{a}{2}\sqrt{6}\right)^2 +a^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} | SD | = \sqrt{\left(\frac{2}{3}*\frac{a}{2}\sqrt{6}\right)^2 +a^2} \end{eqnarray*}$

stimmt das soweit?

20.09.2011, 18:15

riwe

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Zitat:

Original von 134340
Also $\begin{eqnarray*} | SD | ^2 = | SC | ^2 + | CD | ^2 \end{eqnarray*}$ somit kann man jetzt die Höhe berechnen.

$\begin{eqnarray*} | SD | ^2 = | SC | ^2 + | CD | ^2 \Rightarrow \left(\frac{2}{3}*\frac{a}{2}\sqrt{6}\right)^2 +a^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} | SD | = \sqrt{\left(\frac{2}{3}*\frac{a}{2}\sqrt{6}\right)^2 +a^2} \end{eqnarray*}$

stimmt das soweit?

fast

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} | SD | ^2 = -| SC | ^2 + | CD | ^2 \Rightarrow - \left(\frac{2}{3}*\frac{a}{2}\sqrt{6}\right)^2 +a^2 \end{eqnarray*}$

das darfst du auch ausrechnen bzw. vereinfachen Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.09.2011, 18:28

134340

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Oh, das minus vergessen.

So verinfacht ergibt sich $\begin{eqnarray*} |SD|=\sqrt{-\frac{a^2}{3} } \end{eqnarray*}$ .

Jetzt das Volumen der Pyramide berechnen. Der Flächeninhalt der Grundseite ist $\begin{eqnarray*} A=\frac{a^2}{4} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ , das Volumen der Pyramide ist demnach $\begin{eqnarray*} V=\frac{1}{3}* \frac{a^2}{4} \sqrt{3} * \left(-\frac{a^2}{3}\right) \Rightarrow V=- \frac{a^4}{12\sqrt{3} } \end{eqnarray*}$

Das müsste soweit korrekt sein

20.09.2011, 18:37

riwe

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Zitat:

Original von 134340
Oh, das minus vergessen.

So verinfacht ergibt sich $\begin{eqnarray*} |SD|=\sqrt{-\frac{a^2}{3} } \end{eqnarray*}$ .

Jetzt das Volumen der Pyramide berechnen. Der Flächeninhalt der Grundseite ist $\begin{eqnarray*} A=\frac{a^2}{4} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ , das Volumen der Pyramide ist demnach $\begin{eqnarray*} V=\frac{1}{3}* \frac{a^2}{4} \sqrt{3} * \left(-\frac{a^2}{3}\right) \Rightarrow V=- \frac{a^4}{12\sqrt{3} } \end{eqnarray*}$

Das müsste soweit korrekt sein

"unsinn" ist ansteckend
(ich habe den fehler oben schon korrigiert)

es muß natürlich heißen

$\begin{eqnarray*} H^2=CD^2-CS^2\to H=|SD|=\frac{a}{3}\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

(das sollte dir schon selbst auffallen, dass unter der wurzel kein "-" stzehen sollte!

sonst hast du H richtig berechnet Freude

Freude

jetzt machst du aber mit der grundfläche denselben MIST wie vorher geschockt

geschockt

wie heißt die seite der grundfläche?

21.09.2011, 09:24

134340

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Jetzt bin ich verwirrt geschockt

geschockt

Zitat:

jetzt machst du aber mit der grundfläche denselben MIST wie vorher

In wiefern?

Zitat:

wie heißt die seite der grundfläche?

Was meinst du damit?

21.09.2011, 10:51

riwe

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oh lord

unglücklich

die grundfläche ist was.
und wie heißt denn die seite der grundfläche s oder a verwirrt

verwirrt

daher NICHT $\begin{eqnarray*} A = \frac{a^2}{4}\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ sondern verwirrt

verwirrt

kommt dir das jetzt bekannt vor verwirrt

verwirrt

21.09.2011, 11:39

134340

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So, der neue Versuch:
$\begin{eqnarray*} A= \frac{s^2}{4} \sqrt{3} \Rightarrow \frac{(a\sqrt{3})^2 }{4} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ Das is die Fläche der Grundseite.

Jetzt in die Volumensformel eingesetzt

$\begin{eqnarray*} V=\frac{1}{3} \left(\frac{a\sqrt{3})^2}{4} \sqrt{3} \right) * \frac{a}{3} \sqrt{3} = \frac{a^3}{6} \end{eqnarray*}$

Das müsste jetzt aber stimmen

21.09.2011, 11:53

riwe

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Zitat:

Original von 134340
So, der neue Versuch:
$\begin{eqnarray*} A= \frac{s^2}{4} \sqrt{3} \Rightarrow \frac{(a\sqrt{3})^2 }{4} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ Das is die Fläche der Grundseite.

Jetzt in die Volumensformel eingesetzt

$\begin{eqnarray*} V=\frac{1}{3} \left(\frac{a\sqrt{3})^2}{4} \sqrt{3} \right) * \frac{a}{3} \sqrt{3} = \frac{a^3}{6} \end{eqnarray*}$

Das müsste jetzt aber stimmen

fast, das ergebnis ist RICHTIG Freude

Freude

aber hier hast du einen tippfehler $\begin{eqnarray*} s=a\sqrt{2}\neq a\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Freude

Freude

21.09.2011, 12:00

134340

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Dann wäre das ja geschafft smile

smile

Danke für deine Gedult Big Laugh

Big Laugh

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