Indikatorfunktion als Verteilungsfunktion?

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kelu Auf diesen Beitrag antworten »
Indikatorfunktion als Verteilungsfunktion?
Ich hab hier eine merkwürdige Aufgabe:

Es sei eine Sigma-Algebra auf , für alle gelte:

.

Es sei -messbar.

Zeige, dass für einige gilt .


Was ist denn hier überhaupt zu tun? Wenn es kein solches c gäbe, könnte die zugehörige Verteilungsfunktion doch niemals gegen 1 gehen? Außerdem wäre doch auch gar nicht gültig? Das kann aber ja nicht schon die Lösung sein?

Ich danke vielmals für einen Hinweis!
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Der Beweis hängt natürlich maßgeblich von dieser Voraussetzung

Zitat:
Original von kelu
.

ab! Es ist irgendwie nicht zu erkennen, wo das in deine Begründung einfließt. unglücklich
 
 
kelu Auf diesen Beitrag antworten »

Angenommen es gelte für alle . Dann gilt auch für alle und dann wäre F keine Verteilungsfunktion? Ich denk mir ja, dass es nicht so einfach sein kann, aber warum nicht?
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kelu
Angenommen es gelte für alle . Dann gilt auch für alle

Schon falsch: Bei jeder (!) stetigen Verteilung gilt für alle , und trotzdem nicht für alle . unglücklich
kelu Auf diesen Beitrag antworten »

Aha, na da fehlt es mir ja ganz offensichtlich an Verständnis Hammer

Dann hab ich überlegt, dass für , da X messbar, und somit folgt auch, dass . Weil alle offenen Intervalle in dieser Borel-Algebra liegen, ist und das wiederum ist gleich und somit folgt . Ist das richtig?

Sagen wir, ich wüsste, dass . Könnte ich dann wie folgt argumentieren?

Angenommen . Es gilt . Da , folgt, dass entweder oder .

Ach, das bringt mich irgendwie auch nicht weiter, oder? Irgendwie krieg ich's nicht hin. Ich muss doch irgendwie mit und dann der Verteilungsfunktion argumentieren können? Oder bin ich da schon auf dem Holzweg?

Vielen Dank für die Hilfe!
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

So auf dem Holzweg bist du gar nicht.

Ist so ist wegen die Verteilungsfunktion stetig in c.

Wenn das aber nun für alle c gilt, so wäre die Verteilungsfunktion überall stetig.

Nun nimmt die Verteilungsfunktion die Werte 0 und 1 beide irgendwo an (Warum?)

Jetzt ist der Widerspruch nicht mehr weit entfernt.
kelu Auf diesen Beitrag antworten »

Na ja, ganz anschaulich würd ich erstmal sagen, wenn die Verteilungsfunktion nur 0 (oder nur 1) wäre, könnte sie ja nicht den Grenzwert 1 (bzw. 0) haben. Sie hätte auch keine Steigung, die "Dichte" wäre somit 0 und daher nicht mal als Dichte zu bezeichnen. Na ja, ist vll. etwas schwammig, aber ist es denn wenigstens richtig?

Und sie kann ja nicht stetig sein, wenn sie die Werte 0 und 1 aber nichts dazwischen annimmt, ein Widerspruch *hoff*
kelu Auf diesen Beitrag antworten »

Dafür, dass sie keine Werte zwischen 0 und 1 annimmt, brauche ich aber dann, dass . Meinst du, ich kann das so zeigen, wie ich oben aufgeschrieben habe?

Ich bin sehr dankbar für die Hilfe!!!
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kelu
Dafür, dass sie keine Werte zwischen 0 und 1 annimmt, brauche ich aber dann, dass .

Ganz genau. Das Stichwort für eine saubere Beweisargumentation heißt "Zwischenwertsatz für stetige Funktionen".
kelu Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ja, das klingt gut, danke!
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde diese Aufgabe interessant, habe aber nochmal Fragen.

Zitat:
Original von tmo

Ist so ist wegen die Verteilungsfunktion stetig in c.


Also
Wieso folgt die Stetigkeit im Punkt c?

Edit:

Ich würde sagen, weil die Verteilungsfunktion per se rechtsstetig ist und außerdem dann auch linksstetig, denn



Zitat:
Original von tmo

Wenn das aber nun für alle c gilt, so wäre die Verteilungsfunktion überall stetig.



Okay.

Zitat:
Original von tmo

Nun nimmt die Verteilungsfunktion die Werte 0 und 1 beide irgendwo an (Warum?)



Wegen des asymptotischen Verhaltens einer Verteilungsfunktion, also
?

Oder was ist der Grund dafür?

Zitat:
Original von tmo

Jetzt ist der Widerspruch nicht mehr weit entfernt.


Wenn man jetzt ein abgeschlossenes Intervall hat (kann man als linke Grenze den Punkt nehmen, wo der Wert 0 und als rechte Grenze den Punkt, wo der Wert 1 ist?), könnte man den Zwischenwertsatz anwenden und sagen, daß alle Werte zwischen 0 und 1 angenommen werden müssten, was nicht der Fall ist.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist alles gut so Freude
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank!

Dann habe ich die Aufgabe ja doch verstanden.

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