Grenzwertberechnung von 1/x-1/(e^x-1)

20.09.2011, 13:56	JakobO	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwertberechnung von 1/x-1/(e^x-1) Meine Frage: Hallo Freunde der Mathematik Ich habe hier ein Problem mit einer Grenzwertaufgabe. Ich verzweifel seit Stunden an folgender Grenzwertberechnung: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to +0} x \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^{x} -1} \right) \end{eqnarray}$ Ich hatte gehofft, dass ich hier den Lösungsweg und somit auch Anregungen zum Lösen weiterer Grenzwertaufgaben bekomme. Meine Ideen: Bisher hatte unser Prof meist nur Aufgaben gestellt, welche man mit L'Hopital gelöst werden konnten. Also nur Aufgaben die 0/0 oder unendlich/unendlich werden. Wenn ich nun 0 einsetze komme ich nun auf "unendlich - unendlich" und das hilft mir nicht weiter.
20.09.2011, 14:06	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist das x vor der Klammer ein Tippfehler? Du musst in dieser Situation erst so umformen, dass du eine für l'Hospital geeignete Situation erhältst.
20.09.2011, 14:39	JakobO	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ja, hatte ich gar nicht bemerkt, das x ist ein Fehler. Okay, dass man das vorher umformt hatte ich so noch nie gemacht. Hat aber funktioniert. Habe 1/2 rausbekommen. Wird das denn so richtig sein?
20.09.2011, 15:12	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
1/2 ist richtig, ja
20.09.2011, 15:21	JakobO	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi nochmal, ich habe nun weitere Aufgaben gerechnet, und kam nun wesentlich besser mit ihnen zurecht. Nun habe ich aber wieder eine andere Grenzwertaufgabe, bei der ich nicht weiterkomme: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 1} \frac{xln x}{\sqrt{sin(\pi x} } \end{eqnarray}$ Eigentlich bin ich der Annahme, dass man dort L'Hopital anwenden kann. Allerdings kommt nach dem Ableiten ein noch größere Ausdruck heraus, weshalb ich mir nicht so sicher bin ob mein Weg der richtige ist. Es ist doch richtig das man zuerst 0/0 heraus bekommt und dann L'Hopital anwenden kann?
20.09.2011, 15:26	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Man könnte in der Tat direkt l'Hospital anwenden, allerdings würde ich folgenden Weg vorschlagen: Berechne zunächst mit l'Hospital (Das geht ganz schnell): $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{\sin (\pi x)} \end{eqnarray}$ und ziehe dann daraus Rückschlüsse auf den Grenzwert, den du ausrechnen sollst.
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20.09.2011, 16:38	JakobO	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe soeben bemerkt, dass ich beim Anwenden von L'Hospital einen grundlegenen Fehler gemacht habe. Wie auch immer... Nun bekomme ich 'unendlich' raus, ist das richtig?
20.09.2011, 16:59	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das ist nicht richtig.
20.09.2011, 17:15	JakobO	Auf diesen Beitrag antworten »
aaaah immer diese Flüchtigkeitsfehler. Jetzt bekomme ich 0/pi raus. müsste also 0 ergeben. Sag mir das es richtig ist... ???
20.09.2011, 17:54	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
0 ist der richtige Grenzwert.
20.09.2011, 18:59	JakobO	Auf diesen Beitrag antworten »
Super! Danke für die Hilfe. Dann hoffe ich mal, dass die Klausur Morgen gut läuft.

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