seperationsansatz bei part. DGL

20.09.2011, 15:19

eckart

seperationsansatz bei part. DGL

hey. betrachte eine einfachste pDGL (wobei $\begin{eqnarray*} u_x \end{eqnarray*}$ Ableitung nach der x Koordinate bedeutet):

$\begin{eqnarray*} u_x f (x,t) = u_t f (x,t) \end{eqnarray*}$

Der übliche Seperationsansatz $\begin{eqnarray*} f(x,t) = A(x) B(t) \end{eqnarray*}$ führt dann auf einen Ausdruck der Form

$\begin{eqnarray*} f(x,t) = a_0 e^{hx} b_0 e^{ht} \end{eqnarray*}$
mit h Seperationskonstante.

Andererseits führt der Ansatz $\begin{eqnarray*} f(x,t) = A(x) + B(t) \end{eqnarray*}$ auf

$\begin{eqnarray*} f(x,t) = hx + ht + konst \end{eqnarray*}$
mit h Seperationskonstante.

Offensichtlich sind die Lösungen linear unabhängig. Das wäre nicht weiter schlimm, da der Sep.-Ansatz nicht von sich behauptet, die allgemeine Lösung zu finden. Was mich dagegen verwundert ist, dass im allgemeinen unter Seperationsansatz immer der multiplikative verstanden wird, ich verstehe alleridngs nicht, wieso man diesen gegenüber z.B. dem obigen addiktiven bevorzugen sollte. habe ich etwas übersehen? ist letzterer irgendweshalb verboten? offensichtlich liefert er zumindest stets eine spezielle Lösung.

Ich frage mich das, weil ich gerade an der Kompaneetslösung zur Beschreibung von Explosionen sitze und dort zur Lösunge offensichtlich ein Additionsansatz verwendet wird, mir bis eben aber nichtmal bewusst war, dass das zulässig ist.

edit: sorry, das sollte zur Hochschulmathematik. bitte verschieben

20.09.2011, 15:25

chrizke

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RE: seperationsansatz bei part. DGL

Zitat:

Original von eckart
hey. betrachte eine einfachste pDGL (wobei $\begin{eqnarray*} u_x \end{eqnarray*}$ Ableitung nach der x Koordinate bedeutet):

$\begin{eqnarray*} u_x f (x,t) = u_t f (x,t) \end{eqnarray*}$

Was soll denn das nun bedeuten?

$\begin{eqnarray*} u_x \cdot f (x,t) = u_t \cdot f (x,t) \quad \Rightarrow\quad u_t=u_x \end{eqnarray*}$

oder meinst du eher das hier:

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt}f(x,t) = \frac{d}{dx}f(x,t) \end{eqnarray*}$

Wie auch immer das jetzt gemeint ist, ist der Separationsansatz führt leider ins leere, da die Lösung weder ein Produkt noch eine Summe zweier unabhängiger Funktionen ist (Zumindest wenn du ein Cauchy-Problem hast).
Es handelt sich hierbei nämlich um die s.g. Advektionsgleichung und deren Lösung kann man leicht mit der Methode der Charakteristiken bestimmen.

20.09.2011, 17:58

eckart

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RE: seperationsansatz bei part. DGL

Zitat:

Original von chrizke

Zitat:

zweiteres ist gemeint.
Hm aber sowohl Produkt als auch Summenansatz führen offensichtlich auf eine spezielle Lösung der pDGL, da einfaches einsetzen die DGL ja löst

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seperationsansatz bei part. DGL

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