e- und exponentialfunktion.. bzw beides zusammen

20.09.2011, 17:27

a.M

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e- und exponentialfunktion.. bzw beides zusammen

Meine Frage:
höhe einer planze (in metern) zur zeit t (in wochen) durch
$\begin{eqnarray*} h(t)=0,02*e^{k*t} \end{eqnarray*}$
nach 6wochen ist die pflanze 40cm hoch. bestimmen sie k

Meine Ideen:
muss das dann nicht so sein?
$\begin{eqnarray*} 0,4=0,02*e^{k*6} \end{eqnarray*}$
und wie geht es dann weiter??? und was bedeutet k?

in der nächsten aufgabe steht: wie hoch ist die pflanze nach 9 monaten.. dann muss man doch den k wert von oben angeben, oder?sonst geht das ja nicht...

20.09.2011, 17:39

Pascal95

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Hallo.

k ist sowas wie eine Wachstumskonstante.

Du hast ja schon richtig begonnen.

Jetzt musst du nach k auflösen.

Dividiere also durch $\begin{eqnarray*} 0{,}02 \end{eqnarray*}$ .

20.09.2011, 17:42

a.M

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ja 20=e^(k*6)
und ann gibts da irgendein gesetz, dass besagt, dass der ln von soundso... unglücklich

unglücklich

was war das für ein gesetz und wie kommt man da drauf??

20.09.2011, 17:44

Pascal95

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Naja, du kannst jetzt die Umkehrfunktion der $\begin{eqnarray*} \operatorname e \end{eqnarray*}$ -Funktion anwenden: Die $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ -Funktion (natürlicher Logarithmus).

Es gilt $\begin{eqnarray*} \ln \left( \operatorname e^a \right)=a=\operatorname e^{\ln a} \end{eqnarray*}$ .

20.09.2011, 17:48

a.M

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aber da steht doch : 20=e^(k*6)
also dieses k*6 ... ich will doch aber k rausbekommen...

20.09.2011, 17:52

Pascal95

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Deswegen sage ich ja, dass du den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten anwenden musst, sodass k nicht mehr im Exponenten steht.

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20.09.2011, 17:57

a.M

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also:

(k*6)=ln(20)
dann durch 6
k~0,499

stimmt das?

muss ich dann in der 2. aufgabe das k~0,5 einfach einsetzen und ausrechnen??

20.09.2011, 18:01

Pascal95

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Ja, passt.

Da du jetzt k kennst, weißt du damit auch, wie die Funktion lautet.

Somit kannst du nach beliebiger Zeit (z.B. 9 Monaten) ausrechnen.
Achte auf die Einheiten. In die Funktion werden nur Wochen eingesetzt.

20.09.2011, 18:05

a.M

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jo..danke!!!!!! smile

smile

)

und wie beweißt man, das nach einer bestimmten zeit eine andere funktion mit k(t) also nicht mehr h(t) sinnvoll ist?

20.09.2011, 18:11

Pascal95

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Da tippe ich auf eine weniger mathematische Übelegung, sondern vielmehr biologisch Augenzwinkern

Augenzwinkern

Oder denkst du, dass die Pflanze wirklich so wächst:

?

Dann wird sie ja nach gewisser Zeit alles "überwachsen".

20.09.2011, 18:17

a.M

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ich weiß nich.. Big Laugh

Big Laugh

in der aufgabe seht wörtlich:
für t größergleich 9 wird das wachstum der pflanze besser durch k(t)=3,5-8,2*e^(-0,175*t) beschrieben. wann ist nach dieser modellierung die pflanze 3 meter hoch?

ich denke mann mus da iwas umformen, damit man überhaubt h als variable für die höhe drin hat..nur wie das geht weiß ich nich.. ne überlegung ist, dass man nach t umformt und das dann in die ursprungsgleichung einsetzt, dann für h(t) 3 einsetzt und schön seitenweise ausrechnne muss.. stimmt das? oder ist das zeitverschwendung?? Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.09.2011, 18:37

Pascal95

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Um es nochmals klar auszudrücken:

Die Funktion h ist nur für $\begin{eqnarray*} t < 9 \end{eqnarray*}$ zu verwenden.
Danach wird die Höhe der Pflanze durch k beschrieben.

Man könnte also insgesamt sagen:
Die Höhe der Pflanze wird beschrieben durch:

$\begin{eqnarray*} H(t)=\begin{cases}<br /> h(t), & \text{wenn } t\in [0,9) \text{ ,}\\<br /> k(t), & \text{wenn } t\in [9,\infty)<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$

Nun sollst du bestimmen, wann die Pflanze 3 Meter hoch sein wird.
Dazu sollst du die neue Modellierung, also die Funktion k benutzen.

20.09.2011, 18:46

a.M

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t ist etwa 6,94
aber wie begründet man, dass man ab 9 besser diese funktion zur beschreibung des verlaufes nimmt???

20.09.2011, 18:54

Pascal95

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Das liegt auch an dem von mir bereits vorhin angesprochenen Grund.

Denn k ist in dem Intervall $\begin{eqnarray*} [9,\infty) \end{eqnarray*}$ beschränkt.

Es wird also nicht jeden beliebigen Wert überschreiten.

k konvergiert für $\begin{eqnarray*} t\to \infty \end{eqnarray*}$ . Sagt dir der Begriff der Konvergenz etwas ?

Nebenbei ist $\begin{eqnarray*} k(6{,}94)=1{,}07 \end{eqnarray*}$ nach meiner Rechnung.

Wir suchen aber die Zeit in Wochen, wann die Pflanze 3 Meter hoch ist.

20.09.2011, 19:00

a.M

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häh..
nein (das mit konvergenz)
wo hab ich denn den fehler.. muss ich mir noch mal angucken.. ich habe 3=.. gesetzt und dann t=6,.. rausbekommen .. :/

kannst du mir den ersten teil nochmal rklären? [Das liegt auch an dem von mir bereits vorhin angesprochenen Grund.

Denn k ist in dem Intervall $\begin{eqnarray*} [9,\infty] \end{eqnarray*}$ beschränkt.

Es wird also nicht jeden beliebigen Wert überschreiten.

k konvergiert für $\begin{eqnarray*} t\to \infty \end{eqnarray*}$ . Sagt dir der Begriff der Konvergenz etwas ?]

20.09.2011, 19:06

Pascal95

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Damit meine ich, dass, einfach gesagt, für immer größer werdende t (Zeit) die Funktionswerte k(t) immer näher an den Wert 3,5 rankommen.

Mach dir am besten eine Skizze davon:
[attach]21226[/attach]

20.09.2011, 19:09

a.M

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okay..danke schonmal..ich guck mir das noch mal an und wenn ich dann noch ne frage hab..schreib ich sie hier rein..

DANKE!!!bis dahin Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.09.2011, 19:12

Pascal95

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Ok, gerne

Augenzwinkern

20.09.2011, 19:12

a.M

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danke

Augenzwinkern

smile

21.09.2011, 16:36

a.M

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ich finde keinen fehler unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} k(t)=3,5-8,2*e^{-0,175*t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k(3)=> 3=3,5-8,2*e^{-0,175*t} |-3,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -0,5=-8,2*e^{-0,175*t} |/(-8,2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{82}=e^{-0,175*t} |ln \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln(\frac{5}{82}) = -0,175*t |/(-0,175) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t=6,49 \end{eqnarray*}$

was hab ich falsch gemacht???

21.09.2011, 16:47

Pascal95

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Ich verstehe deine Schreibweise auch nicht.

Du schreibst irgendetwas von k(3).

Danach sieht es wieder gut aus...

Es scheint sogar so, dass du fast am Ende das richtige Ergebnis raus hast, bevor du es ausrechnest.

Es ist ja $\begin{eqnarray*} t=\frac{\ln\left( \frac{5}{82}\right)}{-0.175} \end{eqnarray*}$ .

Gebe das nochmal in deinen Taschenrechner ein...

21.09.2011, 16:51

Steffen Bühler

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Wenn ich mich mal einmischen darf:

Zitat:

Original von a.M
was hab ich falsch gemacht???

Wenn Dein Ergebnis 6,94 ist, wie Du ein paar Posts weiter oben schreibst, hast Du sehr wahrscheinlich die log- und die ln-Taste Deines Taschenrechners verwechselt.

Viele Grüße
Steffen

21.09.2011, 16:54

a.M

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mmh.. komisch.. jezz kommt 15,98 (in etwa) raus.. danke Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.09.2011, 16:57

a.M

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du bist echt gut!!!
Augenzwinkern

Augenzwinkern

kannst du mir auch sagen, ob das richtig ist:

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{x} -e*x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=e^{x} -e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=e^{x} -e \end{eqnarray*}$

ich soll da die extremstellen ausrechen und dazu muss man ja die 1.ableitung=0 setzen, aber ich weiß auch da nicht was man dann machen muss... mmh

21.09.2011, 20:41

Pascal95

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Die zweite Ableitung brauchen wir hier gar nicht.

Die würde aber $\begin{eqnarray*} f''(x)=e^{x} \end{eqnarray*}$ lauten.

Nun die erste Ableitung gleich Null setzen, richtig.
Dann eben nach x auflösen.
Wo ist da das Problem ?

21.09.2011, 20:44

a.M

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ich weiß nicht, wie das geht, also wie man weietr macht..
e^{x}=e
ln(e)=x
x=1 oder??

21.09.2011, 20:50

Pascal95

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Wenn du Umformungen machst, empfehle ich es dir, das neue unter das alte zu schreiben also:

$\begin{eqnarray*} \operatorname e^x &=& \operatorname e\qquad |\, \ln \\ x&=& \ln \operatorname e = 1 \end{eqnarray*}$

Ja, $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ .

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