Schnitt von Unterräumen

20.09.2011, 17:33

Pascal95

Schnitt von Unterräumen

Hallo,

ich möchte folgenden Satz beweisen:

Zitat:

Es sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum sowie $\begin{eqnarray*} U_1,\,U_2 \end{eqnarray*}$ Untervektorräume von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} U_1 \cap U_2 \end{eqnarray*}$ ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ .

Hier würde ich das Unterraumkriterium benutzen:

$\begin{eqnarray*} U_1 \cap U_2 \end{eqnarray*}$ ist ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn:

$\begin{eqnarray*} U_1 \cap U_2\neq\emptyset \end{eqnarray*}$ oder gleichbedeutend $\begin{eqnarray*} 0\in U_1 \cap U_2 \end{eqnarray*}$ .

und

$\begin{eqnarray*} a,b\in U_1\cap U_2\Rightarrow a+b\in U_1\cap U_2 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} k\in K, v\in U_1\cap U_2\Rightarrow kv\in U_1\cap U_2 \end{eqnarray*}$

..........................

(1) Es ist $\begin{eqnarray*} 0\in U_1\cap U_2 \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} 0\in U_1\land0\in U_2 \end{eqnarray*}$ , da dies ja notwendig ist, sodass sie Vektorräume sind - und das sind sie ja nach Voraussetzung.

Dann hatte ich noch einen Gedanken zur zweiten Bedingung:

(2) Es muss die Summe zweier Vektoren im Vektorraum sein (Abgeschlossenheit bzgl. Vektoraddition).

(Bezeichnungen im folgenden wie oben gewählt)
Es ist ja nach Voraussetzung $\begin{eqnarray*} a,b\in U_1\cap U_2 \end{eqnarray*}$ . Dann ist also $\begin{eqnarray*} a,b\in U_1\land a,b\in U_2 \end{eqnarray*}$ (Schnitt enthält gemeinsame Elemente). Also ist auch $\begin{eqnarray*} a+b\in U_1\land a+b\in U_2 \end{eqnarray*}$ (Unterraumkriterium auf $\begin{eqnarray*} U_1,\, U_2 \end{eqnarray*}$ angewandt). Demnach ist $\begin{eqnarray*} a+b\in U_1\cap U_2 \end{eqnarray*}$ (Schnitt enthält wieder gemeinsame Elemente).

(3) Nun soll auch jedes skalares Vielfache enthalten sein.
Dazu $\begin{eqnarray*} k\in K \end{eqnarray*}$ beliebig, $\begin{eqnarray*} v\in U_1\cap U_2\Rightarrow v\in U_1\land v\in U_2 \end{eqnarray*}$ .
Nun ist $\begin{eqnarray*} kv\in U_1 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} v\in U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} kv\in U_2 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} v\in U_2 \end{eqnarray*}$ .

Damit ist $\begin{eqnarray*} kv\in U_1\cap U_2 \end{eqnarray*}$ .

..............

Sind diese Überlegungen richtig ?

Vielen Dank,

20.09.2011, 17:45

tmo

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Ja, das passt so.

20.09.2011, 17:46

Pascal95

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Ok, danke sehr

Wink

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