Summe mit Binomialkoeffizienten berechnen

27.12.2006, 18:17

Tmc

also hab folgende Aufgabe:

Berechnen Sie den Wert der folgenden Summe für alle n € N.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also ich häte das raus:

$\begin{eqnarray*} 2^{n} -1 * \sum_{k=1}^n~k \end{eqnarray*}$

1. stimmt das und 2. kann man das noch "vereinfachen"
?

gruß

27.12.2006, 18:25

Mathespezialschüler

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Wie kommst du denn auf dein Ergebnis? Beachte

$\begin{eqnarray*} k{n\choose k}=n\cdot {n-1\choose k-1} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

27.12.2006, 18:35

Tmc

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also dachte erstmal das diese umformung stimmt: tut sie das?!?

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k * \sum_{k=1}^n~ \begin{pmatrix} n \\ k\end{pmatrix} = \sum_{k=1}^n~k \begin{pmatrix} n \\ k\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

vorausgesetzt das sttimmt dann:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = 2^n \end{eqnarray*}$

und da hier k = 1 ist zieh ich einfach $\begin{eqnarray*} 2^0 \end{eqnarray*}$ ab

also

$\begin{eqnarray*} 2^{n} -1 \end{eqnarray*}$

gruß

27.12.2006, 18:41

Mathespezialschüler

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Also die erste Gleichung stimmt auf keinen Fall! Schreib dir mal die beiden Summen aus! Dann siehst du das. Oder mach das an dem Beispiel

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^5~k^2=\left(\sum_{k=1}^5~k\right)\cdot \left(\sum_{k=1}^5~k\right) \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

27.12.2006, 18:49

Tmc

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1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 15 * 15

46 != 225

stimmt, damn

ok wie geh ich das ganze dann an?

27.12.2006, 19:11

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
$\begin{eqnarray*} k{n\choose k}=n\cdot {n-1\choose k-1} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

PS: Die linke Seite ist 55, nicht 46. Augenzwinkern

27.12.2006, 19:42

Tmc

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hmmm du meinst also

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~n\cdot {n-1\choose k-1} \end{eqnarray*}$

ok das wäre dann

$\begin{eqnarray*} n\cdot {n-1\choose 0} \end{eqnarray*}$
+
$\begin{eqnarray*} n\cdot {n-1\choose 1} \end{eqnarray*}$
+
$\begin{eqnarray*} n\cdot {n-1\choose 2} \end{eqnarray*}$
+
$\begin{eqnarray*} n\cdot {n-1\choose 3} \end{eqnarray*}$
+
$\begin{eqnarray*} n\cdot {n-1\choose 4} \end{eqnarray*}$
+
...
+
$\begin{eqnarray*} n\cdot {n-1\choose k-1} \end{eqnarray*}$

doch ich seh hier nix wie ich es anders schreiben könnte bzw. wie ich die aufgabe lösen könnte?

gruß

27.12.2006, 19:54

brain man

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Zitat:

doch ich seh hier nix wie ich es anders schreiben könnte bzw. wie ich die aufgabe lösen könnte?

Musst du ja auch net !

Du hast doch die Summe gegeben :

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mithilfe von :

$\begin{eqnarray*} k{n\choose k}=n\cdot {n-1\choose k-1} \end{eqnarray*}$

zerlegen, Definition des Binomialkoeffiezienten verwenden, einsetzen, rechnen und fertig. Augenzwinkern

27.12.2006, 19:57

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~n\cdot {n-1\choose k-1}=n\cdot \sum_{k=1}^n~{n-1\choose k-1}=n\cdot \sum_{k=0}^{n-1}~{n-1\choose k} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

27.12.2006, 21:00

Tmc

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und es hat klick gemacht Freude

vielen vielen dank!!!

das ergebnis wäre dann ja:

$\begin{eqnarray*} n\cdot \sum_{k=0}^{n-1}~{n-1\choose k} = n * 2^{n-1} \end{eqnarray*}$

da

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n}~{n\choose k} = 2^n \end{eqnarray*}$

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