Mengen-Beweis

20.09.2011, 21:38

Inf177

Mengen-Beweis

Meine Frage:
Hallo zusammen,

also ich hab folgende Aufgabe und hänge ein bisschen, wäre über Erklärungen sehr froh.

Es seien Mengen A, B und C gegeben mit den Eigenschaften

A $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ B = A $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ C

Folgern Sie B = C

Meine Ideen:
Ich hab dann so angefangen:

sei x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ B

1.Fall: x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A
daraus folgt: x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ C

2.Fall: x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ B
aber was dann, ich kann ja nich folgern, dass es dann nicht in C ist, das ist ja genau dann falsch WENN B = C, kann ich das oben annehmen und einen zweiten Fall machen, in dem B ungleich C und dann sagen, dass x nicht in C ist? Das ganze muss ich dann natülich auch noch mit der anderen Seite machen, aber da ich hier schon nicht weiterkomme und es das gleiche ist lass ich das weg.

Gruß Michi

20.09.2011, 21:40

ThomasFF

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RE: Mengen-Beweis
Wenn die Aufgabe nur so formuliert ist, dann stimmt sie nicht.

20.09.2011, 21:49

lgrizu

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RE: Mengen-Beweis

Zitat:

Original von ThomasFF
Wenn die Aufgabe nur so formuliert ist, dann stimmt sie nicht.

Wie ein einfaches Gegenbeispiel zeigt:

$\begin{eqnarray*} A=\left\{1,2,3\right\},~B=\left\{1,4,5\right\},~C=\left\{4,5\right\} \end{eqnarray*}$

Sicherlich gilt $\begin{eqnarray*} A \cup B= \left\{1,2,3,4,5\right\}=A \cup C \end{eqnarray*}$

Es ist aber $\begin{eqnarray*} B \neq C \end{eqnarray*}$ .

Eine zusätzliche Forderung muss sein, dass A und B bzw. A und C disjunkt sind.

20.09.2011, 21:54

Inf177

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RE: Mengen-Beweis
Das könnte mein Fehler sein, es steht so da

A $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ B = A $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ C und A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ B = A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ C

aber mit und waren in den vorhergehenden Aufgaben immer getrennte Rechnungen gemeint.

Gruß Michi

20.09.2011, 21:57

ThomasFF

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RE: Mengen-Beweis

Zitat:

Original von Inf177
Das könnte mein Fehler sein, es steht so da

A $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ B = A $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ C und A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ B = A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ C

aber mit und waren in den vorhergehenden Aufgaben immer getrennte Rechnungen gemeint.

Gruß Michi

Nein, ich kenne die Aufgabe. Das muss gleichzeitig gelten und der Beweis
ist recht technisch.

20.09.2011, 22:01

Inf177

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Was muss ich mir denn unter technisch vorstellen?

20.09.2011, 22:45

Leopold

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Vielleicht so.

Starte mit $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ und füge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ als Vereinigungsglied hinzu:

$\begin{eqnarray*} B = A \cup B \end{eqnarray*}$

Das ist so natürlich falsch und muß durch eine Mengensubtraktion korrigiert werden. Zeichne ein Venn-Diagramm, um dir vorzustellen, welche Korrekturmenge abzuziehen ist:

$\begin{eqnarray*} B = (A \cup B) - \text{Korrekturmenge} \end{eqnarray*}$

Drücke diese Korrekturmenge alleine mit Hilfe des Durchschnitts und der Mengensubtraktion aus. Verwende dann die Beziehungen der Voraussetzung.

20.09.2011, 23:22

Inf177

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So ich hab mich mal daran versucht, aber ich, aber was das mit dem Durchschitt zu tun hat ist mir nicht klar.

Also ich hab:

B=(A $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ B) - (B \ A) + (A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ B)

Ist daran was richtig, dann denke ich morgen an der Stelle weiter :-).

off topic: Warum sehen die Vereinigung und der Schnitt bei mir so runtergesetzt aus? Gibt es da einen Trick?

20.09.2011, 23:33

Leopold

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Nein, das stimmt nicht. Was soll insbesondere das Pluszeichen bedeuten?

Die Idee ist die folgende: Wenn man $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ hinzufügt, muß man es im Prinzip wieder abziehen, um $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ zurückzuerhalten. Nur hat man es hier ja nicht mit Zahlen, sondern mit Mengen zu tun. Teile von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ können ja zu $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ gehören, die darf man nicht mitabziehen, sonst erhielte man weniger als $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ . Welche Korrekturmenge ist also zu subtrahieren?

Hast du dir ein Venn-Diagramm gezeichnet? Da ist augenscheinlich.
Und dann geht der Beweis auf einmal ganz schnell ...

20.09.2011, 23:59

Inf177

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Tut mir leid ich hab erst seit gestern mit der Thematik zu tun, ich schau mir morgen nochmal in Ruhe meine Aufzeichnungen aus der Vorlesung an, dann komm ich vielleicht weiter, jetzt muss ich erstmal ins Bett. :-)

Aber trotzdem schon mal vielen Dank.

Gruß Michi

21.09.2011, 11:46

Lotha

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Hey, hab mir dazu mal was überlegt man beweist ja das $\begin{eqnarray*} B=C \end{eqnarray*}$ ist das gleiche wie $\begin{eqnarray*} B\subseteq C \wedge C\subseteq B \end{eqnarray*}$ . Also kann man indem man animmt es sei $\begin{eqnarray*} x \in A\cup B \Rightarrow x\in A\wedge x\in B =A\cup C \Rightarrow x\in A\wedge x\in C \Rightarrow B\subseteq C \end{eqnarray*}$ .
Das gleiche macht man noch mit es sei $\begin{eqnarray*} x \in A\cap B \Rightarrow x\in A\wedge x\in B =A\cap C \Rightarrow x\in A\wedge x\in C \Rightarrow B\subseteq C \end{eqnarray*}$ . Dann tauscht man die B mit den C (wegen der Symmetrie ) und erhält dadurch: $\begin{eqnarray*} C\subseteq B \end{eqnarray*}$ .
Würde dies auch Funktionieren um zu beweisen das die Mengen B und C gleich sind?

Lotha

21.09.2011, 13:00

ThomasFF

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Zitat:

Original von Lotha
Hey, hab mir dazu mal was überlegt man beweist ja das $\begin{eqnarray*} B=C \end{eqnarray*}$ ist das gleiche wie $\begin{eqnarray*} B\subseteq C \wedge C\subseteq B \end{eqnarray*}$ . Also kann man indem man animmt es sei $\begin{eqnarray*} x \in A\cup B \Rightarrow x\in A\wedge x\in B =A\cup C \Rightarrow x\in A\wedge x\in C \Rightarrow B\subseteq C \end{eqnarray*}$ .
Das gleiche macht man noch mit es sei $\begin{eqnarray*} x \in A\cap B \Rightarrow x\in A\wedge x\in B =A\cap C \Rightarrow x\in A\wedge x\in C \Rightarrow B\subseteq C \end{eqnarray*}$ . Dann tauscht man die B mit den C (wegen der Symmetrie ) und erhält dadurch: $\begin{eqnarray*} C\subseteq B \end{eqnarray*}$ .
Würde dies auch Funktionieren um zu beweisen das die Mengen B und C gleich sind?

Lotha

Schon der erste Schritt $\begin{eqnarray*} x \in A\cup B \Rightarrow x\in A\wedge x\in B \end{eqnarray*}$

stimmt nicht. Weiter habe ich nicht gelesen.

21.09.2011, 13:57

Leopold

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[attach]21233[/attach]

$\begin{eqnarray*} B = (A \cup B) - X \end{eqnarray*}$

Markiere im mittleren Bild den Bereich $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , der weggenommen werden muß, um wieder zu $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ zurückzukehren. Drücke $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ nur mittels $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ und den Mengenoperationen $\begin{eqnarray*} \cup,\cap,- \end{eqnarray*}$ aus.

Und dann beachte die Voraussetzungen der Aufgabe.

21.09.2011, 14:13

Lotha

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Hab jetzt folgende Formel daraus bekommen : $\begin{eqnarray*} B= (A\cup B) - (A- (A\cap B)) \end{eqnarray*}$
Müsste doch richtig sein oder habe ich was übersehen? Das gleiche kann man dann nartürlich symmetrisch mit der Fläche C machen.
Da man nun weiß das die beiden Vereinigungsmengen und Schnittmengen gleich groß sind kann man sagen das die beiden Flächen B=C sind oder? WEil man auch folgern könnte um auf die Fläche B zu kommen: $\begin{eqnarray*} B= (A\cup C) - (A- (A\cap C)) \end{eqnarray*}$

Lotha

21.09.2011, 18:11

Leopold

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Kleine Anmerkung: Es geht nicht um die Größe von Flächen im Sinne des Messens. Diese Kreise stehen symbolisch für Mengen. Im Innern des Kreises stellt man sich die Elemente der Menge liegend vor (endlich viele oder unendlich viele oder gar keine - egal!), der Kreisrand ist wie eine Schnur, der die Elemente zu einer Gesamtheit, eben zur entsprechenden Menge, zusammenfaßt.

Ansonsten stimmt deine Argumentation, sogar mit korrekter Klammersetzung (leider heutzutage keine Selbstverständlichkeit mehr). Ich würde es vielleicht eine Nuance anders aufschreiben, so daß es eine Termkette gibt:

$\begin{eqnarray*} B = \ldots = \ldots = C \end{eqnarray*}$

Beim mittleren Gleichheitszeichen wird die Voraussetzung verwendet.
Und das war der Beweis. So furchtbar technisch fand ich's gar nicht ...

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