Kurze Frage zum Betrag einer Reihe

27.12.2006, 18:58

SilverBullet

Kurze Frage zum Betrag einer Reihe

Ich bin's mal wieder Big Laugh

Hab hier grad ne Reihe vor mir bei der ich überlege wie ich den Betrag abschätzen kann. Ich soll zeigen das die Reihe divergiert.

$\begin{eqnarray*} c_n = \sum_{k=0}^n~\frac {(-1)^n} {\sqrt{k+1}\sqrt{n-k+1}} \end{eqnarray*}$

Damit die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~c_n \end{eqnarray*}$ divergiert müsste ja gelten $\begin{eqnarray*} \mid c_n \mid >= 1 \end{eqnarray*}$ für n >= 0

Gut damit der Betrag größer gleich 1 ist sollte ja der Nenner kleiner 1 sein aber wie zeige ich das ?

mfg
silver

27.12.2006, 19:13

therisen

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RE: Kurze Frage zum Betrag einer Reihe

Zitat:

Original von SilverBullet
Damit die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~c_n \end{eqnarray*}$

Komische Reihe... Meinst du vielleicht $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~c_k \end{eqnarray*}$ ?

27.12.2006, 19:15

Mathespezialschüler

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Ich geh mal von therisens Variante aus ...
Warum muss denn $\begin{eqnarray*} |c_n|\geq 1 \end{eqnarray*}$ , damit die Reihe divergiert? Das ist einfach nur Quatsch. unglücklich

Und außerdem ist

$\begin{eqnarray*} |c_n|=\left|\sum_{k=0}^n~\frac{(-1)^n} {\sqrt{k+1}\sqrt{n-k+1}}\right| \end{eqnarray*}$ .

Da steht noch ein Summenzeichen, also kannst du nicht einfach den Bruch dahinter einzeln betrachten ...
Übrigens: Sicher, dass das $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} (-1)^k \end{eqnarray*}$ heißen soll?

Gruß MSS

27.12.2006, 19:37

SilverBullet

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Ok ich poste die ganze Aufgabe.

Sei $\begin{eqnarray*} a_k := \frac {(-1)^k} {\sqrt{k+1}} \end{eqnarray*}$ . Dann ist die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~a_k \end{eqnarray*}$ konvergent. Zeigen Sie, dass die Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~c_n \end{eqnarray*}$ mit c_n= $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~a_k a_{n - k} \end{eqnarray*}$ divergiert.

TIP : Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \mid c_n \mid \geq 1 \text { für } n \geq 1 \end{eqnarray*}$ gilt.

So dann hab ich Mertens benutzt bzw Cauchy-Produktformel und hab erhalten :

$\begin{eqnarray*} c_n = \sum_{k=0}^n~\frac {(-1)^n} {\sqrt{k+1}\sqrt{n-k+1}} \end{eqnarray*}$

Gut damit die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~c_n \end{eqnarray*}$ (so steht es in der Aufgabe also cn) konvergiert muss $\begin{eqnarray*} \mid c_n \mid \geq 1 \end{eqnarray*}$ für n größer gleich 0.

Damit der Betrag von cn jedoch >= 1 wird muss der Zähler ja kleiner gleich 1 werden nicht ?

Und das war meine Frage.. Wie zeige ich das ? Kann ich die Wurzeln irgendwie gut abschätzen oder umformen ?

27.12.2006, 19:53

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von SilverBullet
Gut damit die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~c_n \end{eqnarray*}$ (so steht es in der Aufgabe also cn) konvergiert muss $\begin{eqnarray*} \mid c_n \mid \geq 1 \end{eqnarray*}$ für n größer gleich 0.

Nein. Es gilt weder: "Damit die Reihe konvergiert, muss $\begin{eqnarray*} |c_n|\geq 1 \end{eqnarray*}$ sein." noch "Damit die Reihe divergiert, muss $\begin{eqnarray*} |c_n|\geq 1 \end{eqnarray*}$ sein.". Aber es gilt halt folgendes:
Wenn $\begin{eqnarray*} |c_n|\geq 1 \end{eqnarray*}$ für fast alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gilt, dann divergiert die Reihe.

Zitat:

Original von SilverBullet
Damit der Betrag von cn jedoch >= 1 wird muss der Zähler ja kleiner gleich 1 werden nicht ?

Hier meinst du Nenner oder?
Nein. $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ ist doch nicht definiert als

$\begin{eqnarray*} c_n=\frac{1}{\ldots} \end{eqnarray*}$ ,

sondern als Summe von Brüchen! Z.B. ist

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}>1 \end{eqnarray*}$ ,

obwohl alle Nenner größer als 1 sind ...

Gruß MSS

27.12.2006, 20:01

SilverBullet

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hmm ok dann könnte ich das doch mit Induktion machen oder gehts noch leichter ?

ne sekunde noch....

Ich müsste doch auch abschätzen können, dass k+1 <= n + 1 und n-k+1 <= n + 1.

Dann ergibt sich :
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~\frac {1^n} {\sqrt{k+1}\sqrt{n-k+1}} \geq \sum_{k=0}^n~\frac {1^n} {\sqrt{n+1}\sqrt{n+1}} = (n+1) \frac 1 {n+1} \end{eqnarray*}$

27.12.2006, 20:23

Mathespezialschüler

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Ja, so geht's.

Gruß MSS

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