Konvergenz (1+2/n)^n -> e^2

21.09.2011, 08:59

7shells

Konvergenz (1+2/n)^n -> e^2

Meine Frage:

Guten Morgen allerseits

Ich möchte gern folgendes Problem verstehen:

Zeigen Sie, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (1+ \frac{2}{n}) = e^2 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

Mir ist bisher folgendes durch den Kopf gegangen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left( 1+ \frac{2}{n} \right)^n = \lim_{n \to \infty } \left( 1+ \frac{2}{n}+ \frac{1}{n^2} \right)^n = \lim_{n \to \infty } \left[ \left( 1+ \frac{1}{n} \right) \left( 1+ \frac{1}{n} \right)\right] ^n = \lim_{n \to \infty } \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n \cdot \lim_{n \to \infty } \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n = e \cdot e = e^2 \end{eqnarray*}$

Der Knackpunkt liegt hier meines Erachtens beim ersten Gleichheitszeichen. Ich weiß zwar, das die beiden Grenzwerte gleich sind, aber wie kann ich das beweisen?

Herzlichen Dank!

21.09.2011, 09:11

Alive-and-well

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Du kannst es mit den Regel von L'Hospital machen.

Da war wer schneller!

21.09.2011, 09:22

Mazze

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Also, was Du auf jedenfall gezeigt hast ist, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{2}{n}\right)^n \leq e^2 \end{eqnarray*}$

ist (erste Gleichheitszeichen durch das ungleichungszeichen ersetzen). Wenn Du jetzt

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{2}{n}\right)^n \geq e^2 \end{eqnarray*}$

zeigst, bist Du fertig.

21.09.2011, 09:26

7shells

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Ich habe mich schon gewundert, wo plötzlich dein Beitrag hin ist...

... aber so wie du es jetzt formuliert hast, macht es für mich mehr Sinn. Also werde ich jetzt versuchen, mich an die Ungleichung zu machen.

Regel von L'Hopital kenne ich nur für Funktionen. Ich habe es hier trotzdem kurz ausprobiert, wüsste aber nicht, wie das für diese Folge gehen soll.

21.09.2011, 09:32

Mazze

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Ja, der Punkt war, dass ich gesagt habe es ginge mit einem ähnlichen Trick. Aber Ganz so ist es nicht Augenzwinkern

21.09.2011, 09:55

Verkasematucker

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RE: Konvergenz (1+2/n)^n -> e^2

Zitat:

Original von 7shells
wie kann ich das beweisen?

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac 2n\right)^n=\left(\left(1+\frac 1{\frac n2}\right)^{\frac n2}\right)^2 \end{eqnarray*}$

Mit dem Wissen um den Grenzwert jeder Teilfolge einer konv. Folge ist der Drops gelutscht.

21.09.2011, 10:10

7shells

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So richtig durchgeschlagen hat es bei mir noch nicht.

Gefragt ist also:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left( 1+ \frac {2}{n} \right) \geq e^2 \end{eqnarray*}$

Bernoulli-Ungleichung scheint nichts zu bringen.

Ich habe es mit Binomischen Satz und Reihenentwicklung für e² probiert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left( 1+ \frac {2}{n} \right) = \lim_{n \to \infty} \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \left( \frac{2}{n} \right)^k = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{n!\ 2^k}{k!\ (n-k)!\ n^k} \end{eqnarray*}$

Die letzte Formel lässt sich schwer abschätzen, aber grob hingezwinkert würde ich meinen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{n!\ 2^k}{k!\ (n-k)!\ n^k}\ \leq \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{2^k}{k!} = e^2 \end{eqnarray*}$

Was leider nicht den Erwartungen entspricht.

Über einen weiteren Hinweis würde ich mich echt freuen. So schwer kann der Beweis doch nicht sein...

Schöne Grüße

21.09.2011, 10:25

7shells

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RE: Konvergenz (1+2/n)^n -> e^2
Naja, ist eine Folge konvergent, so ist auch jede Teilfolge konvergent mit dem gleichen Grenzwert, richtig?

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac 1{\frac n2}\right)^{\frac n2} \end{eqnarray*}$ = e

Oben haben wir die Teilfolge, weil wir statt jedes n nur jedes zweite n betrachten.

Und

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left(\left(1+\frac 1{\frac n2}\right)^{\frac n2}\right)^2 = e^2 \end{eqnarray*}$

Das war wohl der ganze Zauber? Is ja echt nicht schwer.

Ein GROßES Danke an alle Beteiligte!!!

21.09.2011, 17:30

Alive-and-well

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Per L'Hopital kannst du $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } (1+\frac{2}{x})^x \end{eqnarray*}$ bestimmen.

$\begin{eqnarray*} e^{ln(x)} = x \end{eqnarray*}$ sollte dir dabei helfen.

da $\begin{eqnarray*} \mathbb N \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ kommst du von der Funktion zurück zu der Folge.

21.09.2011, 17:43

René Gruber

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@Alive-and-well

Da beißt sich die Katze in den Schwanz. Ausgehend von der Definition

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n} \right)^n =: e \end{eqnarray*}$

kommt man ja erst zu

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{a}{n} \right)^n = e^a \end{eqnarray*}$ ,

zunächst für rationale, später für reelle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ . Zu diesem Zeitpunkt kennt man gewöhnlich noch nicht die Ableitungen der ja soeben erst definierten Exponentialfunktion bzw. deren Umkehrfunktion, den natürlichen Logarithmus.

Insofern ist der von Verkasematucker aufgezeigt Weg wohl der, der mit dem bis dahin "erlaubten" Kenntnisstand zum Erfolg führt.

22.09.2011, 18:13

tmo

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Streng genommen hat man bei dem Weg von Verkasematucker auch noch das Problem, dass man nicht weiß, was diese Folge denn dann für ungerade n macht. Darüber hat man ja zunächst keine Information.

Noch etwas handfester wird es so:

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{2}{n}\right)^n = \frac{\left(1-\frac{4}{n^2}\right)^n}{\left(1-\frac{2}{n}\right)^n} \geq \frac{\left(1-\frac{4}{n^2}\right)^n}{\left(1-\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}\right)^n} = \frac{\left(1-\frac{4}{n^2}\right)^n}{\left(1-\frac{1}{n}\right)^n\left(1-\frac{1}{n}\right)^n} = \left(1-\frac{4}{n^2}\right)^n \left(1+\frac{1}{n-1}\right)^n \left(1+\frac{1}{n-1}\right)^n \to e^2 \end{eqnarray*}$ , was uns dann die gewünschte Ungleichung liefert.

Zum Beweis der letzten Behauptung fehlt natürlich noch $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{4}{n^2}\right)^n = 1 \end{eqnarray*}$ , was man aber mit
$\begin{eqnarray*} 1 \geq \left(1-\frac{4}{n^2}\right)^n \geq 1-\frac{4}{n} \end{eqnarray*}$

einsieht.

22.09.2011, 18:37

René Gruber

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Zitat:

Original von tmo
Streng genommen hat man bei dem Weg von Verkasematucker auch noch das Problem, dass man nicht weiß, was diese Folge denn dann für ungerade n macht.

Stimmt, diese Lücke kann man aber auch durch eine Begründung der Monotonie von

$\begin{eqnarray*} n \mapsto \left( 1 + \frac{2}{n} \right)^n \end{eqnarray*}$

ausräumen.

22.09.2011, 18:48

tmo

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In der Tat.

Dann sollte das finale Argument aber nicht mehr

"Jede Teilfolge einer konvergenten Folge konvergiert gegen den selben Grenzwert"

lauten, sondern eher

"Hat eine montone Folge eine konvergente Teilfolge, so ist die Folge selbst konvergent mit eben dem Grenzwert der Teilfolge."

22.09.2011, 18:53

René Gruber

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Nun ja, die zweite Begründung benennt es etwas konkreter. Die erste ist auch stichhaltig, wenn - ja wenn man begründet, dass die Folge überhaupt konvergent ist. Das ist in der Tat oben noch nicht geschehen, was aber mit der Monotonie ja eben nachgeholt werden kann. Insofern sehe ich da keine dramatischen Unterschiede. Augenzwinkern

22.09.2011, 19:28

tmo

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Ja, so könnte man es natürlich retten Freude

Die Beschränktheit hat der Threadersteller (mit der Anmerkung von Mazze) ja selbst schon nachgewiesen.

Damit haben wir nach etwas Arbeit sogar schon 2 stichfeste elementare Beweise für diese vermeintlich leichte Aussage.

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