Schnittmenge zwischen Ebene und Sphäre

27.12.2006, 19:30	bufftata	Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittmenge zwischen Ebene und Sphäre Zeige, dass für das Standardskalarprodukt der Schnitt K zwischen der Ebene $\begin{eqnarray} E:=\{x\in R³ \| 2x_3=1\} \end{eqnarray}$ und der Einheitssphäre $\begin{eqnarray} S:=\{x\in R³ \| \|x\|=1 \} \end{eqnarray}$ für gewisse Einheitsvektoren b1 und b1 aus \|R³ wie folgt aussieht: $\begin{eqnarray} K:=\{x\in R³ \| x=r\cos{(t)}b_1 + r\sin{(t)}b_2 + \frac{1}{2}a, t \in [0,2pi)\} \end{eqnarray}$ hab leider gar keine Idee wie ich das zeigen soll... Könnt iht mir vielleicht den Ansatz verraten?
27.12.2006, 21:31	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmenge zwischen Ebene und Sphäre $\begin{eqnarray} E:=\{x\in \mathbb R^3 \|~ 2x_3=1\}= \{x\in \mathbb R^3 \|~ x_3=\frac{1}{2}\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} S:=\{x\in \mathbb R^3 \| ~\|x\|=1 \} =\{x\in \mathbb R^3 \| ~\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}=1 \} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|b_1\| = \|b_2\| = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Wegen der Zugehörigkeit zur Ebene E haben die gesuchten Vektoren aus K die } x_3 \text{ -Koordinate } \frac{1}{2}\text{. Somit ist K eine Parallelebene zur }x_1x_2 \text{-Ebene.} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Was ist die Schnittebene einer Kugel? Ein Kreis. Um ihn zu beschreiben brauchen wir zum einen den Radius r. Wie können wir nun die Punkte beschreiben,} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{ die auf der Kreislinie liegen? Denke mal an den Einheitskreis. Dann sollte die Aufgabe fast klar sein, wenn du noch a definierst. } \end{eqnarray}$
28.12.2006, 11:52	bufftata	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmenge zwischen Ebene und Sphäre Das die Schnittmenge ein Kreis sein muss war mit schon klar... mich intere hab mittlerweile auch den Radius zu $\begin{eqnarray} r=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray}$ bestimmt. Ich muss noch angeben, welche Beziehung zwischen $\begin{eqnarray} b_1, b_2 \mathrm{und} a \end{eqnarray}$ besteht. Wie kann ich das machen? Reicht es zu sagen, dass diese 3 Vektoren eine ONB bilden müssen???
28.12.2006, 12:20	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmenge zwischen Ebene und Sphäre Du kannst die Standardeinheitsvektoren nehmen.

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