Kurvendiskussion

21.09.2011, 12:12

Haensen

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Kurvendiskussion

Schon wieder ne Frage.... verwirrt

verwirrt

Ich bin gerade bei einer Kurvendiskussion, die da lautet:

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{x³}{x²-1} \end{eqnarray*}$

jetzt hab ich erstmal die ersten beiden Ableitungen gemacht:

$\begin{eqnarray*} u=x³ \end{eqnarray*}$ --------------------- $\begin{eqnarray*} v=x²-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u'=3x² \end{eqnarray*}$ ------------------ $\begin{eqnarray*} v'=2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{x^4-3x²}{(x²-1)²} \end{eqnarray*}$

und :

$\begin{eqnarray*} u=x^4-3x² \end{eqnarray*}$ ---------------- $\begin{eqnarray*} v=(x²-1)² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u'=4x^3-6x \end{eqnarray*}$ --------------- $\begin{eqnarray*} v'=2(x²-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)= \frac{4x^5-2x^4-10x³-6x²+6x}{(x²-1)³} \end{eqnarray*}$

Und den Definitionsbereich auf : $\begin{eqnarray*} \mathbb R \left\{ -1,1\right\} \end{eqnarray*}$
bestimmt.....

Jetzt hab ich mich bei den Nullstellen versucht, aber ich bekomme da x³=0 raus....

Dann hab ich die Polstellen berechnet : 0=x²-1 und erhalte x1=1 und x2= -1

bevor ich nun weitermachen wollte, wollte ich aber doch wissen ob meine Ableitungen und die Null- und Polstellen richtig sind???
Kann mir einer helfen??

21.09.2011, 12:46

Mathewolf

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Es ist soweit alles richtig. Nur meinst du bei der Angabe des Definitionsbereichs bestimmt

$\begin{eqnarray*} \mathbb D_f = \mathbb R\backslash\left\{ -1,1\right\} \end{eqnarray*}$ .

21.09.2011, 14:43

Haensen

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Zitat:

Original von Mathewolf
Es ist soweit alles richtig. Nur meinst du bei der Angabe des Definitionsbereichs bestimmt

$\begin{eqnarray*} \mathbb D_f = \mathbb R\backslash\left\{ -1,1\right\} \end{eqnarray*}$ .

ja genau, hab das nur nicht so hinbekommen mit dem Latex-Code Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zu den nullstellen noch mal, also hab ich bei x=0 einen Nulldurchgang?

21.09.2011, 14:44

lgrizu

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Was soll denn ein "Nulldurchgang" sein?

Du hast eine dreifache Nullstelle bei x=0.

21.09.2011, 15:11

Haensen

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Zitat:

Original von lgrizu
Was soll denn ein "Nulldurchgang" sein?

Du hast eine dreifache Nullstelle bei x=0.

Was heißt denn dreifache Nullstelle? Ich hab mir die Funktion gerade plotten lassen...
Ich versteh nicht das es eine 3-fache Nullstelle ist...

[attach]21235[/attach]

21.09.2011, 15:21

lgrizu

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$\begin{eqnarray*} x^3=0 \Rightarrow x \cdot x \cdot x=0 \end{eqnarray*}$

Nun wenden wir den Satz vom Nullprodukt an:

$\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ .

Also dreifache Nullstelle.

In der Praxis bedeutet das, dass dort ein Sattelpunkt vorliegt. Eine zweifache Nullstelle zum Beispiel ist ein Berührungspunkt.

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21.09.2011, 15:31

Haensen

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Gut

Augenzwinkern

Und dann mal weiter im Text.... Das dumme ist, das ich wohl so normale(leichte) Kurvendiskussionen ein wenig kann, aber wenn mal ein wenig anders ist dann ist mein Ofen aus Hammer

Hammer

Ich wollte nun die Extremwerte bestimmen und bin so angefangen; die erste Ableitung 0 setzen:

$\begin{eqnarray*} 0=\frac{x^4-3x²}{(x²-1)²} \end{eqnarray*}$

===> $\begin{eqnarray*} 0=x^4-3x² \end{eqnarray*}$

da hab ich dann x² ausgeklammert

$\begin{eqnarray*} 0=x²(x²-3) \end{eqnarray*}$

und dann hab ich: 0=x² und $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

mit den beiden x aus der Wurzel bestimme ich doch den Hoch- bzw. den Tiefpunkt. Oder?

21.09.2011, 15:43

lgrizu

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Okay, du hast die drei kritischen Stellen $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=\pm \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ , das ist richtig.

bei x=0 liegt der Sattelpunkt (das kann man auch noch überprüfen, man wird sehen, dass die zweite Ableitung hier verschwindet), nun ist auch noch zu schauen, wie die zweite Ableitung sich an den anderen beiden Stellen verhält.

21.09.2011, 15:53

Haensen

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genau....

ich hab jetzt

$\begin{eqnarray*} x_{1} =+\sqrt{3} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} x_{2} =-\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

eingesetzt in die 2. Ableitung und habe bei:

x1=-1,9019 und x2= -7,098 raus

muss einer noch größer sein als 0 oder nicht?

21.09.2011, 16:12

lgrizu

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Sicherlich meinst du $\begin{eqnarray*} f''(\sqrt{3})=-1,902 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} f''(\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ sollte aber gößer sein als 0, dein Plot zeigt, dass dort ein Minimum liegt.

Ich habs allerdings noch nicht nachgerechnet.

21.09.2011, 16:18

Haensen

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jepp das meinte ich......

wenn ich $\begin{eqnarray*} x_{2} =-\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

ausrechne kommt bei mir -7,098 raus....

hmmmm verwirrt

verwirrt

edit: oder ich müsste bei den Ableitungen was falsch haben......

21.09.2011, 16:25

lgrizu

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Ich habe den Fehler gefunden, deine 2. Ableitung ist falsch, da Mathewolf die als richtig bestätigt hatte habe ich da nicht mehr drauf geschaut.

Und zwar hapert es an v', es ist $\begin{eqnarray*} v'(x)=2 \cdot 2x \cdot (x^2-1) \end{eqnarray*}$ , du hast vergessen, die Kettenregel anzuwenden.

Und: $\begin{eqnarray*} f(-\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ soll ja auch etwas negatives herauskommen, da liegt ein Maximum.....

21.09.2011, 16:35

Haensen

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war klar, das ich nicht einmal was richtig machen kann Hammer

Hammer

immer wieder der selber Fehler, ich vergess sehr oft die innere Ableitung Augenzwinkern

Augenzwinkern

ich meld mich gleich wieder wenn ich das umgerechnet habe Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.09.2011, 16:40

lgrizu

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Okidokey

21.09.2011, 17:13

Haensen

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so, bin soweit Augenzwinkern

Augenzwinkern

ich hab jetzt für die 2. Ableitung das raus:

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{2x³+6x}{(x²-1)³} \end{eqnarray*}$

dann wäre bei mir x1 das Minimum mit $\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{3}/2,598 \right) \end{eqnarray*}$

und bei x2 das Maximum $\begin{eqnarray*} \left(-\sqrt{3}/-2,598 \right) \end{eqnarray*}$

die 3. Ableitung wäre dann:

$\begin{eqnarray*} f'''(x) = \frac{-6x^4-36x²-6}{(x²-1)^4} \end{eqnarray*}$
man könnte noch die -6 ausklammern....

der Sattelpunkt liegt bei $\begin{eqnarray*} \left(0 / 0\right) \end{eqnarray*}$

21.09.2011, 17:29

lgrizu

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Jap, nun stimmt es, die y-Koordinaten habe ich nicht nachgerechnet.

21.09.2011, 17:48

Haensen

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sollte eigentlich stimmen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Jetzt will ich die Asymptote ausrechnen, das mache ich doch mit der Polynomdivision oder?

$\begin{eqnarray*} x³: (x²-1) = x+\frac{x}{x²-1} \end{eqnarray*}$

oder verwirrt

verwirrt

21.09.2011, 22:19

lgrizu

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Und wie schaut dann die Asymptote aus?

22.09.2011, 08:21

Haensen

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Moin moin....
also Asymptoten sind ja Geraden an die sich die Funktion beliebig annähert. Dann würde die Gleichung meiner ausgerechneten Asymptote ja stimmen, denn wenn ich in die Grafik, die Asymptote y=x einzeichne, verkäuft sie ja schön diagonal durch die Grafik....

[attach]21246[/attach]

22.09.2011, 09:47

lgrizu

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Jap, ist richtig, eine Asymptote ist y=x.

Fernerhin sind noch die Grenzwerte von links und von rechts an die Definitionslücken zu untersuchen

22.09.2011, 10:05

Haensen

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Wir haben jetzt das immer so aufgeschrieben.....

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } f(x) \end{eqnarray*}$ das geht gegen +Unendlich

und

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty } f(x) \end{eqnarray*}$ das geht gegen -Unendlich

oder was meinst du??

22.09.2011, 12:05

lgrizu

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Ich meinte die Grenzwerte an der Definitionslücke, also:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1,~x <1}f(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1,~x >1}f(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -1,~x <-1}f(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -1,~x >-1}f(x) \end{eqnarray*}$

22.09.2011, 12:17

Haensen

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Aha....
das haben wir so noch nie gemacht, wir haben das halt immer so geschrieben....
Aber vielleicht kommt das ja noch... man weiß es nicht smile

smile

Ich bin dir auf jeden fall sehr sehr dankbar das du das so ausführlich mit mir durchgegangen bist Freude

Freude

22.09.2011, 12:19

lgrizu

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Die von mir und von dir genannten Grenzwerte sind nicht die gleichen, ich habe den Grenzwert gegen die Definitionslücken betrachtet, du den Verlauf des Graphen gegen +/- unendlich.

Wenn ihr das bisher noch nicht gemacht habt, okay, kommen wird es aller wahrscheinlichkeit nach dann noch.

Wenn du noch Fragen hast, immer gerne wieder. Wink

Wink

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