sigma-endlich

21.09.2011, 15:41

Gast11022013

sigma-endlich

Meine Frage:
Hallo, ich versuche gerade den Begriff " $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -endlich" zu verstehen, was mir noch nicht so gut gelungen ist.

Die Definition lautet ja:

Zitat:

Werner, "Einführung in die höhere Analysis", 2. Auflage, S. 224

Eine Funktion $\begin{eqnarray*} \mu:\mathcal{S}\to [0,\infty] \end{eqnarray*}$ auf einem Mengensystem $\begin{eqnarray*} \mathcal{S}\subset\mathcal{P}(S) \end{eqnarray*}$ heißt $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -endlich, wenn es eine aufsteigende Folge $\begin{eqnarray*} A_1\subset A_2\subset\hdots \end{eqnarray*}$ von Mengen in $\begin{eqnarray*} \mathcal{S} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mu(A_n)<\infty \end{eqnarray*}$ für alle n und $\begin{eqnarray*} \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n=S \end{eqnarray*}$ gibt.

Man verdeutlicht sich das vermutlich am besten an Beispielen.
Da finde ich im zitierten Buch auf S. 260 zum Beispiel:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} [0,R] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [0,\infty) \end{eqnarray*}$ , jeweils mit den Borelmengen und dem Lebesguemaß versehen, sind $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -endlich.

Wie erkennt man da jetzt obige Definition wieder?

Meine Ideen:

Edit:

Ist das so gemeint, daß

$\begin{eqnarray*} [0,R]=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n, A_n:=[0,a_n], a_n\leq a_{n+1},a_n\to R \end{eqnarray*}$ ?

21.09.2011, 15:48

René Gruber

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RE: sigma-endlich
$\begin{eqnarray*} [0,R] \end{eqnarray*}$ ist ja sogar endlich, sollte klar sein.

Bei $\begin{eqnarray*} [0,\infty) \end{eqnarray*}$ kannst du z.B. im Sinne der obigen Definition $\begin{eqnarray*} A_n = [0,n] \end{eqnarray*}$ wählen, dann ist nämlich $\begin{eqnarray*} [0,\infty) = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n \end{eqnarray*}$ .

21.09.2011, 15:53

Gast11022013

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RE: sigma-endlich
Ah, danke, ich hatte die Idee gerade für [0,R] aufgeschrieben, aber das ist natürlich endlich.

Wobei meine Idee oben war, daß man eine Folge (für die rechten Grenzen) nimmt, die gegen R konvergiert, ginge das auch?

21.09.2011, 16:03

René Gruber

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Hauptmotivation für diesen Begriff der Sigma-Endlichkeit ist einfach, dass man viele von endlichen Maßen her bekannte und wichtige Aussagen nicht auf beliebige Maße übertragen kann, wohl aber auf diese sigma-endlichen Maße. Und da nun mal das Lebesgue-Maß bezogen auf den ganzen Raum $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ nicht endlich, aber eben sigma-endlich ist, hat man damit einen wichtigen Anwendungsbereich für diese Art Aussagen gewonnen.

Zitat:

Original von Dennis2010
Wobei meine Idee oben war, daß man eine Folge (für die rechten Grenzen) nimmt, die gegen R konvergiert, ginge das auch?

Wenn die $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ von unten gegen $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ konvergieren, also $\begin{eqnarray*} a_n \leq a_{n+1} \end{eqnarray*}$ und auch $\begin{eqnarray*} 0\leq a_n<R \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , dann gilt leider nur

$\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} [0,a_n] = [0,R) \end{eqnarray*}$ ,

d.h. der Punkt $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ selbst fehlt in der Vereinigung! Das ganze erscheint im Lichte der Sigma-Endlichkeit auch überkompliziert, denn du kannst da am besten $\begin{eqnarray*} a_n=R \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ wählen, also identische Intervalle.

21.09.2011, 16:06

Gast11022013

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Jetzt habe ich es verstanden, ich danke Dir!

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