Kettenregel anwenden :S

21.09.2011, 16:23

Gh05TF4C3

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Kettenregel anwenden :S

Meine Frage:
Liebe Mathefreunde,

ich hab' hier eine Aufgabe, an der ich die Kettenregel anwenden soll, um die Ableitung herrauszufinden.

$\begin{eqnarray*} f(x) = cos(\sqrt{x}) \end{eqnarray*}$

Problem ist einfach nur was die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ sein soll.

Meine Ideen:
Die Kettenregel an sich kann ich bei "normalen" Funktionen wie beispielsweise $\begin{eqnarray*} f(x) = (2x^5 - 3x)^2 \end{eqnarray*}$ anwenden.

Aber halt dieser Sinus und Cosinus Quatsch bereitet mir etwas Kopfschmerzen unglücklich

unglücklich

21.09.2011, 16:25

Iorek

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{x}=x^{\frac 12} \end{eqnarray*}$ , könntest du damit die Ableitung bestimmen? smile

smile

21.09.2011, 16:36

Gh05TF4C3

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Ja das geht: $\begin{eqnarray*} z'(x) = 0,5x \end{eqnarray*}$

Ich "bretter" mal die ganze Prozedur jetzt mal durch... verwirrt

verwirrt

21.09.2011, 16:39

Iorek

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Das ist aber nicht die Ableitung der Wurzelfunktion. unglücklich

unglücklich

Wo verschwindet der Exponent hin?

21.09.2011, 16:44

Gh05TF4C3

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Stimmt daran hab ich gar nicht gedacht Hammer

Hammer

Hab' mir das jetzt mal durchdacht und ich glaub

$\begin{eqnarray*} z'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

oder irgendetwas in dieser Richtung ist die Ableitung verwirrt

verwirrt

21.09.2011, 16:48

Iorek

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Jetzt stimmts. Freude

Freude

Damit hast du die innere Ableitung schon bestimmt, fehlt nur noch die äußere Ableitung.

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21.09.2011, 16:49

Gh05TF4C3

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Außere?

Also $\begin{eqnarray*} cos \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} -sin \end{eqnarray*}$ ???

21.09.2011, 16:54

Iorek

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$\begin{eqnarray*} \cos \end{eqnarray*}$ alleine reicht nicht, besser wäre $\begin{eqnarray*} \left[\cos(x)\right]'=-\sin(x) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt musst du das nur noch richtig zusammenfügen und bist fertig. smile

smile

21.09.2011, 16:59

Gh05TF4C3

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Ist von Cosinus die Ableitung nicht $\begin{eqnarray*} -sin \end{eqnarray*}$ ?

21.09.2011, 17:01

Iorek

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Natürlich, da ist mir ein Minuszeichen abhanden gekommen.

21.09.2011, 17:10

Gh05TF4C3

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Ich hab' ein Problem mit dem Ablauf:

Ich habe:

$\begin{eqnarray*} z(x) = \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

und davon die Ableitung:

$\begin{eqnarray*} z'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

Ablauf:

$\begin{eqnarray*} <br /> f(x) = cos(\sqrt{x})<br /> <br /> f(z) = cos(z)<br /> <br /> f'(z) = -sin(z) \end{eqnarray*}$

Muss ich dahinter noch $\begin{eqnarray*} \cdot z'(x) \end{eqnarray*}$ hinschreiben verwirrt

verwirrt

21.09.2011, 17:13

Iorek

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Ja, bei der Kettenregel gilt "innere mal äußere Ableitung".

21.09.2011, 17:16

Gh05TF4C3

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Ist als Endergebnis

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \sqrt{x} \cdot -sin(\sqrt{x}) \end{eqnarray*}$

korrekt?

21.09.2011, 17:16

René Gruber

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Zitat:

Original von Gh05TF4C3
Ablauf:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \cos(\sqrt{x}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(z) = \cos(z) \end{eqnarray*}$

Wenn du so im Aufschrieb vorgehst, hast du (fürs Verständnis) schon verloren: Es ist eben NICHT $\begin{eqnarray*} f(z)=\cos(z) \end{eqnarray*}$ . unglücklich

unglücklich

Korrekt für die Kettenregel eingeordnet müsste man das schon so schreiben:

$\begin{eqnarray*} f(x) = g(h(x)) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(z) = \cos(z) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h(x) = \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ .

21.09.2011, 17:20

Gh05TF4C3

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Du verwirrst mich damit, René verwirrt

verwirrt

21.09.2011, 17:22

René Gruber

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Ja, das soll's geben, dass man Leute mit Exaktheit verwirrt. Na dann entschuldige die Störung, ich dachte halt nur, dass man auf dein falsches $\begin{eqnarray*} f(z)=\cos(z) \end{eqnarray*}$ hinweisen sollte.

Vielleicht hast du ja auch

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \cos(z) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$

gemeint, das wäre ja so dann auch richtig.

21.09.2011, 18:27

Iorek

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Wieso $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ als Faktor? Für die innere Ableitung hatten wir doch etwas anderes. smile

smile

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