Isomorphie im Dualraum

21.09.2011, 17:59

martha.1981

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Isomorphie im Dualraum

Moin,

Ich weiß nicht, was da gemacht wird:

V K-VR und U,W Untervektorräume von V mit $\begin{eqnarray*} V=U\oplus W \end{eqnarray*}$ .

Dass dann $\begin{eqnarray*} V*=U*\oplus W* \end{eqnarray*}$ , ist mit ja noch irgendwie anschaulich klar, ebenso wie $\begin{eqnarray*} dim(V/U)=dim(V)-dim(U) \end{eqnarray*}$ . Aber wie ich von da zu $\begin{eqnarray*} W^{*}\cong (V/U)^{*} \end{eqnarray*}$ .

Ich würde tippen W* ist isomorph zu W und dim(W)=dim(V)-dim(U) ist klar. Deshalb wäre dim(W*)=dim(V)-dim(U)=dim(V/U).

Reicht das bereits für Isomorphie? Das zwei Unterräume von V gleich sind, wenn sie die selbe Dimension haben, check ich. Aber einen Satz, der sagt, das zwei VRe mit gleiche Dimension mindesten isomorph sind, muss ich überlesen haben. Gibt's den?

m.

21.09.2011, 18:19

galoisseinbruder

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Hi,

ich gehe davon aus, dass V (und damit auch U,W) endliche K-Vektorräume sind.
(Sonst wird das ganze unangenehmer)

Es gilt folgende Aussage: Ein n-dimensionaler K-Vektorraum ist isomorph zu $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ , ergo sind K-Vektorräume gleicher (endlicher) Dimension isomorph(als Vektorräume).
Zu Unterräume gleicher Dimension sind aber nicht notwendig gleich, z.B
$\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \times\{0\} \subseteq \mathbb{R}^2 \text{und} \{0\} \times \mathbb{R} \subseteq \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ sind beide eindimensional aber verschieden.

21.09.2011, 18:37

martha.1981

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Mein Fehler. Klar. Danke! smile

smile

21.09.2011, 22:42

martha.1981

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Nochmal nachgefragt: Und V und V* sind auch schlicht aus diesem Grunde isomorph!? Einfach weil sie beide die gleiche Dimension wie $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ haben sind sie beide isomorph zu $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ und da die Isomorphie eine transitive, binäre Relation ist aus zueinander.

richtig verstanden?

21.09.2011, 22:47

lohrio

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Ein isomorphismus ist eine lineare bijektive abbildung meinst du wohl smile

smile

. zwei gleichdimensionale k-VR sind isomorph zueinander

21.09.2011, 22:56

galoisseinbruder

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ja, endlich-dimensionale (das endlich ist wichtig) K_Vektorräume sind isomorph genau dann, wenn sie gleiche Dimension. Und das gilt, weil Isomorphie eine Äquivalenzrelation ist.
Beachte aber für unendlich-dim. vektorräume gilt das nicht.

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22.09.2011, 14:17

martha.1981

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danke.

22.09.2011, 14:24

jester.

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Zitat:

Original von galoisseinbruder
Und das gilt, weil Isomorphie eine Äquivalenzrelation ist.

Das ist keine Begründung für die von dir angegebene Tatsache.
Im Übrigen ist die Aussage, dass endlichdimensionale Vektorräume gleicher Dimension isomorph sind, ohne Weiteres auf den unendlichdimensionalen Fall übertragbar, denn es gilt: Zwei Vektorräume über einem Körper sind genau dann isomorph, wenn es eine Bijektion zwischen jeweils einer ihrer Basen gibt. Dies enthält den endlichdimensionalen Fall.
Der Grund, warum das richtig ist, ist der, dass Vektorräume frei auf ihren Basen sind.

22.09.2011, 14:44

galoisseinbruder

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@jester: Auf frei-heit von vektorräumen hinzuweisen hilft martha bestimmt weiter.
Und ja ich habe im letzten Post die Endlich-dimensionalität überbetont.
Weil es im unendlichen Fall aleph-Rechnerei wird, auch das dürfte hier nicht hilfreich sein weiter zu vertiefen.

Und im unendlichen Fall sind wir mit dem Dualbegriff schnell in der funktionalanalysis
und da gilt i.A. $\begin{eqnarray*} V\not\cong V^* \end{eqnarray*}$

22.09.2011, 14:50

jester.

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Schon klar, der Hauptpunkt meines Beitrages sollte abzielen auf die Sache mit der Äquivalenzrelation, denn das liefert einem wie gesagt nicht die Aussage.

22.09.2011, 14:57

galoisseinbruder

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Gut dann machen wir´s hochoffiziell:

Die Aussage das gleich-dimensionale Vektorräume isomorph sind ist die Transitivitäts-Eigenschaft der Äquivalenzrelation Isomorphie von Vektorräumen

22.09.2011, 15:02

Manus

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Das stimmt einfach nicht und das ist auch nicht, was Jester gesagt hat.

22.09.2011, 15:12

galoisseinbruder

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Klärt mich auf:
-wieso stimmt meine Aussage nicht (Gegenbeispiel wär nett)
-worüber diskutieren wir hier genau?

22.09.2011, 15:18

jester.

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Zitat:

Original von galoisseinbruder
Klärt mich auf:
-wieso stimmt meine Aussage nicht (Gegenbeispiel wär nett)

Das mit dem Gegenbeispiel wird etwas schwierig. Es verhält sich so: sowohl die Aussage A, dass Isomorphie eine Äquivalenzrelation ist, als auch die Aussage B, dass endlichdimensionale Vektorräume gleicher Dimension isomorph sind, ist richtig, aber die Folgerung $\begin{eqnarray*} A\Rightarrow B \end{eqnarray*}$ lässt sich nicht machen. Man ist versucht zu sagen, die beiden Aussagen haben nichts miteinander zu tun.
Deswegen kann man auch kein Gegenbeispiel angeben. Ich könnte eine dritte Aussage C nehmen, etwa "Der Himmel ist blau", die ebenfalls wahr ist, aber auch daraus kann ich nicht Aussage B folgern. Trotzdem kann ich auch dazu kein Gegenbeispiel angeben.

Zitat:

-worüber diskutieren wir hier genau?

Darüber, dass man die oben genannte Folgerung nicht machen kann...

22.09.2011, 15:28

galoisseinbruder

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ich meine die Aussage so:
Da Isomorphie eine Äquivalenzrelation ist gilt insbesondere
$\begin{eqnarray*} A \cong B \wedge B \cong C \Rightarrow A \cong C \end{eqnarray*}$
Das 2 gleichdimensionale vektorräume isomorph sind kann ich äquivalent auch so formulieren:
$\begin{eqnarray*} A \cong K^n \wedge B \cong K^n \Rightarrow A \cong B \end{eqnarray*}$
In diesem Sinne seh´ ich Zweiteres als folgerung aus Ersterem

22.09.2011, 15:31

jester.

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Das geht sicherlich. Aber der "spannende Teil", nämlich dass $\begin{eqnarray*} A\cong K^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B\cong K^n \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} \dim(A)=\dim(B)=n \end{eqnarray*}$ , ist ja so noch offen und lässt sich auch nicht aus der Tatsache, dass $\begin{eqnarray*} \cong \end{eqnarray*}$ Äquivalenzrelation ist, folgern.

22.09.2011, 15:39

galoisseinbruder

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I see. Ich hab gestern abend den entsprechenden halbsatz, den martha 2 Posts bereits
vorher genannt hatte nicht wiederholt.

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