Problem mit Beweis komplanar und kollineare Vektoren

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Tarantula Auf diesen Beitrag antworten »
Problem mit Beweis komplanar und kollineare Vektoren
Meine Frage:
Hallo,

ich soll folgendes beweisen: Sind zwei von drei vektoren a(Vektor), b(Vektor),c(Vektor) kollinear, so sind die drei Vektoren komplanar.


ich weiß aber nicht wie ich diese Informationen nutzen kann um den Beweis zu führen.....

Vielen Dank schonmal im Vorraus

Meine Ideen:
Mir ist bewusst, dass 2 kollineare Vektoren z.B. bedeuten, dass ra(Vektor) + sb (Vektor) = 0(Nullvektor)

und bei komplanaren gilt ra(Vektor) + sb(Vektor) + tc(Vektor) = 0 (Nullvektor)
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Mir ist bewusst, dass 2 kollineare Vektoren z.B. bedeuten, dass ra(Vektor) + sb (Vektor) = 0(Nullvektor)

und bei komplanaren gilt ra(Vektor) + sb(Vektor) + tc(Vektor) = 0 (Nullvektor)


Das Entscheidende fehlt jetzt aber noch, schau nochmal genau in deinen Unterlagen nach.
Trantula Auf diesen Beitrag antworten »

vielleicht dass r,s,t nicht alle gleich 0 sein dürfen??

Sonst fällt mir echt nicht ein wie ich hier vorgehe.....
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz genau, so unscheinbar dir das evtl vorkommt, genau das ist entscheidend.
Kannst du dir auch vorstellen was das anschaulich bedeutet ?
Also zunächst vielleicht mal bzgl. der Voraussetzung wann 2 Vektoren kollinear sind.
Trantula Auf diesen Beitrag antworten »

kollinear heißt doch, dass 2 Vektoren parallel zueinander sind
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Joaaaa, sagen wir lieber exakter, dass sie Vielfache voneinander sind.
Angenommen die Vektoren und sind kollinear, dann muss demnach doch gelten:



Versuch das nun mal in deiner Gleichung für die Komplanarität (man sagt auch lineare Abhängigkeit) der 3 Vektoren zu benutzen und etwas zu folgern.
 
 
Trantula Auf diesen Beitrag antworten »

wenn 3 Vektoren komplanar sind muss doch gelten:

c (Vektor) = r * a (Vektor) + s * b(Vektor)

oder in dem Fall :

c (Vektor) = r * a (Vektor) + k * a (Vektor)
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Sag es lieber so:

Wenn 3 Vektoren komplanar sind, dann kann man mit ihnen eine geschlossene Vektorkette bilden, es besteht dann also die Möglichkeit den Nullvektor nicht-trivial darzustellen, so dass die Gleichung r*a+s*b+t*c=0 eben noch mindestens eine weitere Lösung außer die triviale Lösung r=s=t=0 hat, für welche die Gleichung logischerweise wahr wird.

Wenn wir also Vektor b entsprechend ersetzen, wie du es gemacht hast, was gilt damit dann automatisch für die Vektoren a und c anschaulich bzw. geometrisch ?
Trantula Auf diesen Beitrag antworten »

und genau an dem Punkt komme ich nicht weiter.....

ich glaube ich muss mich auch nochmal korriegieren weil wenn ich b = k * a einsetze käme ja die Gleichung:

c = r*a + s * k *a
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Genauer wäre das, nur steht s*k dann auch nur für irgendeine reelle Zahl m, insofern macht das jetzt nicht viel aus.
Stell dir das nun so ähnlich vor wie beim Distributivgesetz (ausklammern).
Denn dann steht da nichts anderes, also dass man auch Vektor c durch Vektor a darstellen kann, oder mit anderen Worten...
Trantula Auf diesen Beitrag antworten »

dann steht da c = a * (r+m)
also wären c und a auch kollinear oder??
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Geeenau.
Was bedeutet das also nun für unsere Gleichung r*a+s*b+t*c=0 ?

Naja einfacher wäre es glaub ich gewesen direkt dein r*a +s*b=0 in r*a+s*b+t*c=0 einzusetzen, denn wenn a und b kollinear sind muss es ein r oder s ungleich null geben, so dass r*a+s*b=0 gilt.
Ersetzt man damit r*a+s*b durch den Nullvektor verbleibt nur noch t*c=0 und dann fehlt nur noch die Schlussfolgerung.
Trantula Auf diesen Beitrag antworten »

dann wären doch alle drei vektoren kollinear oder sehe ich da was falsch??
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Paarweise zueinander quasi, richtig.
Wobei das ja nicht zwangsweise so sein muss, deswegen hab ich wohl irgendeinern Denkfehler bei meinem ersten Vorschlag.

Insofern benutze lieber meine Alternative, also das hier:

Zitat:
Naja einfacher wäre es glaub ich gewesen direkt dein r*a +s*b=0 in r*a+s*b+t*c=0 einzusetzen, denn wenn a und b kollinear sind muss es ein r oder s ungleich null geben, so dass r*a+s*b=0 gilt. Ersetzt man damit r*a+s*b durch den Nullvektor verbleibt nur noch t*c=0 und dann fehlt nur noch die Schlussfolgerung.
Trantula Auf diesen Beitrag antworten »

was soll denn t*c=0 bedeuten ?? Kann ich das dann ind die Gleichung ra +sb +tc = 0 einsetzen sodass ich ra +sb +tc = tc habe?? Aber was bringt mir das dann?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein t*c=0 bleibt doch übrig wenn du r*a+s*b durch den Nullvektor ersetzt.
Einverstanden ?
Trantula Auf diesen Beitrag antworten »

ja, und wie schleiße ich dann auf Komplanarität?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Überlege dir was man nun für t wählen kann, so dass t*c dem Nullvektor entspricht und führe dir anschließend nochmal vor Augen was denn nur erfüllt sein muss damit a,b und c komplanar sind.
Trantula Auf diesen Beitrag antworten »

darf t denn 0 sein?
und damit die drei vektoren komplanar sind muss gelten ra + sb + tc = 0
ist das also quasi schon bewiesen weil ja ra und sb 0 ist und tc ebenfalls 0 und folglich auch die Summe der drei Vektoren den Nullvektor ergibt?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja t darf ruhig null sein, denn wir hatten durch die Kollinearität von a und b ja schon gefolgert:

Zitat:
denn wenn a und b kollinear sind muss es ein r oder s ungleich null geben, so dass...


Somit muss doch mindestens eine der Variablen r,s,t (also r oder s) ungleich null sein und damit...
Trantula Auf diesen Beitrag antworten »

sind die Vektoren linear abhängig beziehungsweise komplanar?? Big Laugh
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Schau doch mal auf deinen 2. Beitrag in diesem Thread.
Da hast du ja selbst schon beantwortet wann 3 Vektoren a,b und c komplanar, also linear abhängig sind.
Du musst jetzt nur noch erkennen bzw auch sicher sein, dass es so ist, weil wir ja genau das jetzt auch gezeigt haben. Augenzwinkern

Aber ich nicke mal jetzt einfach mal und hoffe, dass es dir klar ist. smile
Trantula Auf diesen Beitrag antworten »

so jetzt ist bei mir endgültig gar nichts mehr klar ...
ich weiß ja jetzt dass t = 0 ist und entweder r oders ungleich null sein müssen, da sonst die Vektoren linear unabhängig wären aber wie kann ich daraus folgern dass die 3 Vektoren komplanar sind?? Big Laugh
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Also nochmal zusammengefasst:

Ziel: Wir wollen in der Gleichung r*a+s*b+t*c=0 zeigen, dass mindestens eine der Variablen r,s, und t nicht null ist.

Nun hoffen wir, dass wir das durch die gegebene Voraussetzung, dass schonmal 2 der 3 Vektoren kollinear sind, irgendwie hinkriegen.
Und in den Tat sagt einem die Tatsache, dass z.B. a und b kollinear sind (statt kollinear kann man bei 2 Vektoren auch linear abhängig sagen) schon direkt, dass bereits in der Gleichung r*a+s*b=0 in jedem Fall r oder s ungleich null sein muss, denn andernfalls wären a und b ja linear unabhängig.
Übetragen auf unsere Gleichung r*a+s*b+t*c=0 haben wir es dann also mit t=0 dann schon geschafft, dass diese Gleichung eine Lösung hat, die ungleich der Null-Lösung r=s=t=0 ist.

Jetzt klar ?
Trantula Auf diesen Beitrag antworten »

ja ich habs verstanden...... Big Laugh
vielen Dank für deine Geduld ist nicht so leicht mir was in Bezug auf Mathe zu erklären Big Laugh
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Och war doch ok eigentlich, hatte mich ja anfangs auch verrannt. Augenzwinkern
Evlt musste man bei meinem ersten Vorschlag noch irgendwelche Fallunterscheidungen machen.
Ich denk nochmal drüber nach und wenn mir noch was dazu einfällt, poste ich nochmal.

Ansonsten vielleicht nochmal zur generellen Vorstellung:
Wenn du 3 Vektoren hast, von welchen 2 schonmal quasi richtungsmäßig dieselben sind und sich nur in ihrer Länge unterscheiden, dann kann ich diese beiden Vektoren auch aufeinander legen und dann kann ich zusammen mit irgendeinem dritten Vektor automatisch auch eine Ebene aufspannen, denn nichts anderes heißt es, dass 3 Vektoren komplanar sind, nämlich dass sie in einer Ebene liegen.

Viel Erfolg weiterhin. Wink
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