Lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen ist stetig

22.09.2011, 10:12

ThomasFF

Lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen ist stetig

Hallo Leute,

ich hänge bei dieser eigentlich einfach scheinenden
Frage. Wie beweise ich das am elegantesten? verwirrt

Ich kenne:

i) Beschränktheit zeigen: $\begin{eqnarray*} \|Ax\| \le C \|x\| \end{eqnarray*}$

ii) Stetigkeit in einem Punkt zeigen, z.B. Ursprung

Kann mich bitte jemand aufklären?

22.09.2011, 10:14

galoisseinbruder

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Vektorräume über welchem Körper?
Was ist die Topologie?

22.09.2011, 10:17

ThomasFF

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Hallo,

nix verrücktes. Nur endlichdimensionale normierte $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorräume,
also z.B. $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb R^m \end{eqnarray*}$

22.09.2011, 10:25

galoisseinbruder

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Mit der von der Standardnorm induzierten Topologie, nehm ich an.
Schreib mal genau hin was Du beweisen musst, dann wirst du sehen, dass das es
genügt Stetigkeit bei 0 zu zeigen. (folgt aus der Linearität)

22.09.2011, 10:28

ThomasFF

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$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x \in U_{\delta}(0) \|Ax\| < \epsilon \end{eqnarray*}$

muss ich dann zeigen, steh aber auf dem Schlauch. Hammer

22.09.2011, 10:32

galoisseinbruder

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Das wär Stetigkeit bei 0, die Du nach eigener Aussage zeigen kannst.
Ich meinte Stetigkeit für beliebiges x.

22.09.2011, 10:34

ThomasFF

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Zitat:

Original von galoisseinbruder
Das wär Stetigkeit bei 0, die Du nach eigener Aussage zeigen kannst.
Ich meinte Stetigkeit für beliebiges x.

Ne, kann ich auch nicht. Ich weiß, dass ich zeigen muss, aber wie genau (elegant) nicht.

für Stetigkeit in x_0 muss man zeigen:

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x \in U_{\delta}(x_0) \|A(x-x_0)\| < \epsilon \end{eqnarray*}$

22.09.2011, 10:38

galoisseinbruder

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Für die Stetigkeit bei 0 brauchst Du nur die Beschränkheit.
ich fang den Beweis mal an:
Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ . Wir wählen $\begin{eqnarray*} \delta = \end{eqnarray*}$

22.09.2011, 10:45

ThomasFF

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Zitat:

Original von galoisseinbruder
Für die Stetigkeit bei 0 brauchst Du nur die Beschränkheit.
ich fang den Beweis mal an:
Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ . Wir wählen $\begin{eqnarray*} \delta = \end{eqnarray*}$

Gerade hier steh ich auf dem Schlauch.

Möchtest du ausnutzen, dass $\begin{eqnarray*} \|A (x-x_0)\| \le \|A\| \|x-x_0\| \end{eqnarray*}$ gilt?
Das geht nämlich nur, wenn wir schon wissen, dass die Abbildung beschränkt ist.

22.09.2011, 10:48

galoisseinbruder

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Das ist kein Wollen, eher ein Müssen.

22.09.2011, 11:00

ThomasFF

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Zitat:

Original von galoisseinbruder
Das ist kein Wollen, eher ein Müssen.

Was meinst du. Wenn ich weiß, dass es beschränkt ist, dann weiß ich schon,
dass es überall stetig ist.

Also nochmal:

Es gilt für einen Operator $\begin{eqnarray*} T \in L(\mathbb R^n, \mathbb R^m) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} T\text{ ist stetig } \iff T \text{ ist in einem $x_0$ stetig } \iff T \text{ ist beschränkt} \end{eqnarray*}$

Meine Frage war, welcher der eleganteste und schnellste Weg
zum Ziel ist. Das Ziel nochmal zur Wiederholung:

Jede lineare Abbildung zwischen $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n, \mathbb R^m \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} x \mapsto Ax \end{eqnarray*}$ ist stetig.

22.09.2011, 11:08

galoisseinbruder

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Die Aussage beweist am schnellsten indem man die Beschränkheit ausnutzt, und die elementare Definition.
Jede lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m \end{eqnarray*}$ ist beschränkt (indem Sinne,dass $\begin{eqnarray*} \frac{||Ax||}{||x||} \end{eqnarray*}$ beschränkt ist.)

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