Uneigentliches Integral mit Residuensatz berechnen

22.09.2011, 13:20

Simooon

Uneigentliches Integral mit Residuensatz berechnen

Uneigentliches Integral mit Residuensatz

allg gilt: $\begin{eqnarray*} \underset{-\infty}{\overset{\infty}{\int}}\frac{p(x)}{q(x)}dx=2\pi i\underset{Im\left(z\right)>0}{\sum}Res_{z}\left(\frac{p}{q}\right) \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} deg\left(q\right)\geq deg\left(p\right)+2 \end{eqnarray*}$

So nun zu der Aufgabe:

Berechne $\begin{eqnarray*} \underset{0}{\overset{\infty}{\int}}\frac{x^{2}+1}{x^{4}+1}dx\overset{sym.}{=}\frac{1}{2}\underset{-\infty}{\overset{\infty}{\int}}\frac{x^{2}+1}{x^{4}+1}dx=\pi i\underset{Im\left(z\right)>0}{\sum}Res_{z}\left(\frac{p}{q}\right) \end{eqnarray*}$

Soweit so gut.

Jetzt will ich an die Residuen rankommen, also schau ich mir den Nenner an

$\begin{eqnarray*} x^{4}+1=\left(x^{2}+i\right)\left(x^{2}-i\right)=\left(x+\sqrt{i}\right)\left(x-\sqrt{i}\right)\left(x+i\sqrt{i}\right)\left(x-i\sqrt{i}\right) \end{eqnarray*}$

Soweit dachte ich wäre alles klar, nur “darf” ich überhaupt mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{i} \end{eqnarray*}$ rechnen? Ist ja dann das gleiche wie $\begin{eqnarray*} i^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ . Damit rechne ich weiter

Ich benutze eine Rechen-Regel für Residuen: $\begin{eqnarray*} f\left(z\right)=\frac{g(z)}{z-c} \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} Res_{c}\left(f\right)=g(c) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Res_{\sqrt{i}}\left(\frac{p}{q}\right)=\left[\frac{(x^{2}+1)}{\left(x^{2}+i\right)\left(x+\sqrt{i}\right)}\right]\left(\sqrt{i}\right)=\frac{i+1}{2i\cdot2\sqrt{i}}=\frac{1}{4}i^{-\frac{3}{2}}+\frac{1}{4}i^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Res_{i^{\frac{3}{2}}}\left(\frac{p}{q}\right)=\left[\frac{(x^{2}+1)}{\left(x^{2}-i\right)\left(x+i^{\frac{3}{2}}\right)}\right]\left(i^{\frac{3}{2}}\right)=\frac{i^{3}+1}{\left(i^{3}-i\right)2i^{\frac{3}{2}}}=\frac{-i+1}{-4i^{\frac{5}{2}}}=-\frac{1}{4}i^{-\frac{5}{2}}+\frac{1}{4}i^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{4}i^{-2-\frac{1}{2}}+\frac{1}{4}i^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{4}i^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{4}i^{-\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

Ich mein das sind wie ich finde sehr komische Sachen, die da raus kommen. Hab ich da einen Fehler drin? weil was mich, unabhängig davon, dass das irgendwie blöd zu berechnen ist, ist, dass ich dann am Ende

$\begin{eqnarray*} \underset{0}{\overset{\infty}{\int}}\frac{x^{2}+1}{x^{4}+1}dx\overset{sym.}{=}\frac{1}{2}\underset{-\infty}{\overset{\infty}{\int}}\frac{x^{2}+1}{x^{4}+1}dx=\pi i\underset{Im\left(z\right)>0}{\sum}Res_{z}\left(\frac{p}{q}\right)=\pi i\frac{1}{2}\left(i^{-\frac{1}{2}}+i^{-\frac{3}{2}}\right)=\frac{\pi}{2}i^{\frac{1}{2}}+\frac{\pi}{2}i^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

habe und das ist imaginär

Habe ich mich irgendwie Verrechnet? Oder andere Fehler gemacht / Regeln nicht berücksichtigt?

22.09.2011, 13:32

galoisseinbruder

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Das problem ist, dass die komplexe Wurzel nicht eindeutig ist:
$\begin{eqnarray*} X^2-i \end{eqnarray*}$ hat 2 Nullstellen, die zueinannder (additiv) invers sind.
(man sieht sie sehr schön auf dem Einheitskreis)
Beide könnten beanspruchen die Wurzel von i zu sein, deshalb verwendet man eine solche Schreibweise nicht.
Soweit ich das sehe ist die Rechnung richtig, das Integral ist reell, da für beide "wurzeln" $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \text{ von } X^2-i \text{ gilt: } x_k ^{-1}= \bar{x}_k \end{eqnarray*}$

22.09.2011, 13:35

Gast11022013

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RE: Uneigentliches Integral mit Residuensatz berechnen
Hallo!

Ich kann Dein bisheriges Vorgehen leider nicht wirklich einschätzen.

Aber wäre es nicht grundsätzlich einfacher, zu sagen:

Pole liegen vor bei $\begin{eqnarray*} a:=e^{i\pi/4} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ia \end{eqnarray*}$ [wenn ich mich nicht irre]?

Beide Pole sind einfach und man kann die Residuen berechnen.

22.09.2011, 14:14

Simooon

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Zitat:

Original von galoisseinbruder
Das problem ist, dass die komplexe Wurzel nicht eindeutig ist:
$\begin{eqnarray*} X^2-i \end{eqnarray*}$ hat 2 Nullstellen, die zueinannder (additiv) invers sind.
(man sieht sie sehr schön auf dem Einheitskreis)
Beide könnten beanspruchen die Wurzel von i zu sein, deshalb verwendet man eine solche Schreibweise nicht.
Soweit ich das sehe ist die Rechnung richtig, das Integral ist reell, da für beide "wurzeln" $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \text{ von } X^2-i \text{ gilt: } x_k ^{-1}= \bar{x}_k \end{eqnarray*}$

Also sollte ich anstelle es durch Wurzeln auszudrücken $\begin{eqnarray*} x^{2}=-i \end{eqnarray*}$ eher so berechnen:

$\begin{eqnarray*} e^{2ix}=e^{\frac{6}{4}\pi i} \end{eqnarray*}$ . Das dann als Lösung $\begin{eqnarray*} e^{\frac{3}{4}\pi i} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^{\frac{7}{4}\pi i} \end{eqnarray*}$

bzw. statt $\begin{eqnarray*} x^{2}=i \end{eqnarray*}$ besser $\begin{eqnarray*} e^{2ix}=e^{\frac{1}{2}\pi i} \end{eqnarray*}$ mit den Lösungen $\begin{eqnarray*} e^{\frac{1}{4}\pi i} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^{\frac{5}{4}\pi i} \end{eqnarray*}$

Aber wie würde ich dann die Residuen berechnen? Darf ich einfach “entscheiden” dass ich jetzt die Residuen mit negativem Imaginärteil außen vor lasse? Ich so “tue als ob” ich nur eine der Lösungen gefunden habe?

Also $\begin{eqnarray*} x^{4}+1=\left(x^{2}+i\right)\left(x^{2}-i\right)=\left(x+e^{\frac{\pi}{4}i}\right)\left(x-e^{\frac{\pi}{4}i}\right)\left(x+e^{\frac{3\pi}{4}i}\right) \left(x-e^{\frac{3\pi}{4}i}\right) \end{eqnarray*}$

Demnach dann

$\begin{eqnarray*} Res_{e^{\frac{\pi}{4}i}}=\left[\frac{x^{2}+1}{\left(x^{2}+i\right)\left(x+e^{\frac{\pi}{4}i}\right)}\right] \left(e^{\frac{\pi}{4}i}\right) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} Res_{e^{\frac{3\pi}{4}i}}=\left[\frac{x^{2}+1}{\left(x^{2}-i\right)\left(x+e^{\frac{3\pi}{4}i}\right)}\right] \left(e^{\frac{3\pi}{4}i}\right) \end{eqnarray*}$

wären?

22.09.2011, 14:30

Gast11022013

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Sorry, wenn ich nochmal so dazwischenhusche.

Wenn ich das richtig sehe, hast Du als Ergebnis $\begin{eqnarray*} \frac{\pi\cdot\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$ heraus.

Ich komme ebenfalls auf dieses Ergebnis, wenn ich es etwas kürzer mache.

Ich betrachte zunächst $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^2+1}{x^4+1} \, dx \end{eqnarray*}$ .

Es gibt zwei einfache Pole, nämlich

1.) $\begin{eqnarray*} e^{\frac{i\pi}{4}} \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} ie^{\frac{i\pi}{4}} \end{eqnarray*}$ .

Die Residuen berechnen sind nach der $\begin{eqnarray*} g/f' \end{eqnarray*}$ - Regel:

1.) $\begin{eqnarray*} \frac{i+1}{-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}i} \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} \frac{1-i}{2\sqrt{2}+2\sqrt{2}i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^2+1}{x^4+1} \, dx=2\pi i\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)=\pi\cdot \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty}\frac{x^2+1}{x^4+1} \, dx=\frac{1}{2}\cdot\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^2+1}{x^4+1} \, dx \end{eqnarray*}$ , komme ich auf Dein Ergebnis.

Wenn ich Dich richtig verstehe, hast Du das so gemacht, daß Du den Nenner erst zerlegt hast und daraus die Polstellen abliest?

22.09.2011, 14:32

galoisseinbruder

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Anscheinend hab ich Dich etwas verwirrt. Wenn Du Dir Deine Formel ganz am Anfang anschaust siehst Du, dass Polstellen mit negativem imaginärteil nicht ins Gewicht fallen.(Wir integrieren in ´nem Halbkreis über der Real-Wert-Achse).
Deine Residuen-Rechnungen (sind bis auf das $\begin{eqnarray*} \sqrt{i} \end{eqnarray*}$ ) korrekt, da Du nur algebraische eigenschaften(sprichX^4=1) ausnutzt.
Der letzte kommentar bezog sich aufs Ergebnis.

23.09.2011, 08:51

Simooon

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Hey habe die Aufgabe gestern erstmal sacken lassen und was anderes weiter gemacht. Ich hab anscheinend irgendwie zu kompliziert gedacht...

Also hier jetzt mal meine Lösung und die ist auch mit der von Dennis2010 konform.

$\begin{eqnarray*} \underset{0}{\overset{\infty}{\int}}\frac{x^{2}+1}{x^{4}+1}dx\overset{sym.}{=}\frac{1}{2}\underset{-\infty}{\overset{\infty}{\int}}\frac{x^{2}+1}{x^{4}+1}dx=\pi i\underset{Im\left(z\right)>0}{\sum}Res_{z}\left(\frac{p}{q}\right) \end{eqnarray*}$

Nennernullstellen: Da $\begin{eqnarray*} x^{4}+1 \end{eqnarray*}$ Polynom vom Grad 4 hat es 4 Nullstellen auf dem Einheitskreis (<- ich muss den Nenner ja gar nicht zerlegen, das war was mir bei der Rechnung die Probleme gemacht hat)

Die kann ich vom Einheitskreis “ablesen”

$\begin{eqnarray*} x_{1}=e^{\frac{\pi}{4}i},x_{2}=e^{\frac{3\pi}{4}i},x_{3}=e^{\frac{5\pi}{4}i},x_{4}=e^{\frac{7\pi}{4}i} \end{eqnarray*}$

Berechne Residuen nur für $\begin{eqnarray*} x_{1},x_{2} \end{eqnarray*}$ da sonst $\begin{eqnarray*} Im\left(x_{i}\right)<0 \end{eqnarray*}$

Benutze Regel: $\begin{eqnarray*} f=\frac{g}{h} \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} Res_{c}\left(f\right)=\frac{g\left(c\right)}{h^{\prime}\left(c\right)} \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} h\left(c\right)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h^{\prime}\left(c\right)\neq0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Res_{x_{1}}\left(f\right)=\frac{i+1}{4\frac{1}{\sqrt{2}}\left(-1+i\right)}=-2^{-\frac{3}{2}}i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Res_{x_{2}}\left(f\right)=\frac{-i+1}{4\frac{1}{\sqrt{2}}\left(1+i\right)}=-2^{-\frac{3}{2}}i \end{eqnarray*}$

Und insgesamt hab ich dann

$\begin{eqnarray*} \underset{0}{\overset{\infty}{\int}}\frac{x^{2}+1}{x^{4}+1}dx\overset{sym.}{=}\frac{1}{2}\underset{-\infty}{\overset{\infty}{\int}}\frac{x^{2}+1}{x^{4}+1}dx=\pi i-2\cdot2^{-\frac{3}{2}}i=\pi2^{-\frac{1}{2}}=\frac{\pi}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

Was eine schwere Geburt, aber was lange währt, wird endlich gut.

Danke Dennis2010 und galoisseinbruder für die Unterstützung

23.09.2011, 11:01

Gast11022013

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