Zwei Verteilungen und ein Erwartungswert

22.09.2011, 20:57	Timmeteq	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwei Verteilungen und ein Erwartungswert Hallo liebes Forum! Dies ist mein erster Beitrag bei euch, obwohl ich immer wieder gerne hier mitgelesen und Tipps geholt habe. Ich habe hier eine Aufgabe, an der ich seit Stunden verzweifle und daher habe ich mich einmal angemeldet um mit Rat zu holen. Die Aufgabe lautet: Es sei X eine Exp (0,01)-verteilte Zufallsvariable und Y eine durch 0, falls X<20 X-20, falls 20<=X<300 280, falls X>= 300 definierte Zufallsvariable. Wie lautet der Erwartungswert von Y? Also E von X ist 100, aber das ist nicht gefragt. Ich bin ehrlich gesagt nicht sicher, was Y überhaupt für eine Verteilung hat. Ist Y gleichverteilt? Ich stehe einfach komplett auf dem Schlauch. Kann mir hier vielleicht jemand helfen? Viele Grüße Timm
22.09.2011, 21:35	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Man könnte z.b. mal erst $\begin{eqnarray} E(Y+20) \end{eqnarray}$ berechnen. Man kriegt dann den Erwartungswert von Y, indem man einfach wieder 20 abzieht. Nun ist $\begin{eqnarray} Y + 20 = 20 \cdot 1_{[0,20)}(X) + X \cdot 1_{[20,300)}(X) + 300 \cdot 1_{[300,\infty)}(X) \end{eqnarray}$ Mit der Linearität des Erwartungswert sowie den Regeln $\begin{eqnarray} E(g(X)) = \int_{-\infty}^{\infty} g(x)f_X(x)dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E(1_M(X)) = P(X \in M) \end{eqnarray}$ ist man dann schnell fertig.
22.09.2011, 22:02	Timmeteq	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Antwort. Leider hilft mir das nicht so wirklich weiter. Ich verstehe nicht wirklich, wie du auf diese Gleichung kommst. Außerdem wüsste ich auch nicht, wie ich weiter verfahren sollte. Was wäre denn dann jeweils "X"? Wäre in dem Fall dann die Y+20-Gleichung mein "g(x)"? Wobei bräuchte ich denn die Exponentialverteilungsfunktion?
22.09.2011, 22:30	Timmeteq	Auf diesen Beitrag antworten »
Also meine Herangehensweise war folgende: Die Wahrscheinlichkeiten, dass X eintritt habe ich berechnet mit Intergal 0-20 von Lambdae^(-Lambdax), mit Lambda =0,01. Entsprechend mit jedem der drei Intervalle. So habe ich P1=0,181, P2=0,769, P3=0,05 heraus. Dann die Erwartungswerte der drei Intervalle: E1=0, E3=280, E2=??? Und E(Y) wäre dann nach meinem Verständnis E1P1+E2P2+P3*E3 Was mir fehlt ist der Erwartungswert für Intervall 2. Wie berechne ich diesen? Ist dieser Weg falsch?

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