Doppelintegral, Grenzen bestimmen mit einer Ungleichung |
22.09.2011, 22:23 | quadratwurschtel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Doppelintegral, Grenzen bestimmen mit einer Ungleichung Hallo, ich stehe vor einem Problem. Folgendes Doppelintegral ist gegeben: mit Z=(x,y):1 x²+y² 4 Meine Ideen: Ich weiß, dass ich aus dem "Z-Bereich" meine Grenzen bestimmen muss. Ich habe auch schon probiert was zu zeichnen, aber ich komme einfach auf keinen grünen Zweig. |
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23.09.2011, 02:08 | BobbyJack | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Doppelintegral, Grenzen bestimmen mit einer Ungleichung Hallo, wie sieht deine Zeichnung des Gebildes denn aus? Btw: wenn du e^(x+y) schreiben willst, dann musst du x+y in geschweifte Klammern setzen ( e^{x+y} ) |
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23.09.2011, 11:54 | quadratwurschtel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich hab die Zeichnung vorhin in den Papierkorb versenkt. ![]() Zuerst hatte ich gedacht, dass die Werte ja nur im Bereich von 1 bis 4 liegen dürfen. Dafür hatte ich dann zwei Gerade mit y=1 und y=4 eingezeichnet. Danke für den Tipp mit den geschweiten Klammern. Ich probier's mal. |
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23.09.2011, 12:15 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dann mußt du das eben wieder aus dem Papierkorb hervorholen. Die Frage bleibt, was für ein Gebiet Z = {(x,y): 1 <= x²+y² <= 4} ist. |
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23.09.2011, 13:54 | quadratwurschtel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Genau das ist ja mein Problem mit dem Gebiet. |
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23.09.2011, 14:33 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Und jetzt wartest du auf irgendeine Eingebung? Wie wäre, wenn du mal ein Koordinatensystem malst und darin Punkte einträgst, für die x²+y² <= 4 gilt? |
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23.09.2011, 16:50 | quadratwurschtel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein, ich warte nicht auf eine (göttliche?) Eingebung. Ich nehme jetzt einfach mal x²+y²=4 an, stelle es nach y um und erhalte folgenden Graphen (siehe Anhang). |
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24.09.2011, 14:17 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
OK, das sollte dir schon mal einen deutlichen Hinweis liefern, für welche Punkte x²+y² <= 4 gilt. In welchem Gebilde liegen diese Punkte? |
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24.09.2011, 17:15 | quadratwurschtel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich glaube ich hatte eine kleine Eingebung (ob's richtig ist, werden wir ja noch sehen). Also könnte ich für x die Grenzen dann von 1 (weil x²+y²<=1) bis 2 wählen und für y dann von 1 bis y=(siehe Funktion)? |
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24.09.2011, 21:24 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also mit deinen Eingebungen ist es nicht so weit her. Erstmal ist doch wohl weil x²+y² >= 1 und zweitens kann durchaus x=0 sein, wenn y=2 ist. Es wäre besser, du würdest dich um die Beantwortung meiner Fragen kümmern. |
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24.09.2011, 22:25 | quadratwurschtel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich bin ja für deine Hilfe dankbar, ehrlich, aber der Ton macht die Musik. Was für ein Gebilde? Ein Halbkreis! |
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26.09.2011, 09:55 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Jetzt kommen wir der Sache schon etwas näher. Wenn man sich nun die Ungleichung x²+y² <= 4 näher anschaut, dann findet man, daß das Vorzeichen von x und y völlig belanglos ist. Wenn du also einen Punkt (x,y) hast, der das erfüllt, dann kannst du diesen an der x- bzw. y-Achse spiegeln und kommst zu weiteren Lösungspunkten. Vielleicht hilft auch der Gedanke weiter, daß der Abstand eines Punktes vom Nullpunkt ist. ![]() |
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26.09.2011, 18:36 | quadratwurschtel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das verwirrt mich gerade. ![]() Beim (Halb)Kreis musste ich sofort an die Formel für die Kreisfläche denken. Und bei (x²+y²)^(1/2) muss ich an den Betrag von einem Vektor denken. Aber das bringt mich beides sicher nicht weiter. Nicht sauer werden, aber ich hab schon wieder eine Eingebung: Polarkoordinaten? ![]() |
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26.09.2011, 23:19 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Doch durchaus mit dem richtigen Gedanken. Um's kurz zu machen: x²+y² <= 4 wird von allen Punkten im Kreis mit Radius 2 um den Ursprung erfüllt.
Darauf wird es hinauslaufen. Jetzt müssen wir uns aber noch um die Fläche Z kümmern und da alle Punkte mit x² + y² < 1 ausschließen. Mittlerweile haben wir ja gelernt, wo diese zu finden sind. Und dann solltest du nochmal genau das Integral aufschreiben. Könnte es sein, daß es da y² heißen muß? |
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28.09.2011, 13:23 | quadratwurschtel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich hatte da im Internet die Tage ein Arbeitsblatt dazu gefunden, als ich nach Polarkoordinanten gegoogelt habe. Wenn ich das mal übertrage, dann müsste das bei mir 0<=r<=2 sein? Und für den Winkel dann von 0 bis 2pi?
Auf meinem Zettel steht allerdings genau das was oben steht, aber vermutlich habe ich mich nur beim Abschreiben geirrt. |
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28.09.2011, 13:45 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nicht ganz. Immerhin muß ja x² + y² >= 1 sein.
Stimmt auch nicht. Wenn schon, dann bleibt übrig.
Das wollen wir mal stark hoffen. ![]() |
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28.09.2011, 19:35 | quadratwurschtel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
![]()
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29.09.2011, 08:24 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Richtig. Jetzt kannst du die Transformation mit Polarkoordinaten machen. Da bin ich mal gespannt. ![]() |
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29.09.2011, 09:10 | quadratwurschtel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich mache es nachher mal handschriftlich und dann stelle ich es hier ein. |
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29.09.2011, 11:28 | quadratwurschtel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
So, im Anhang findest du meine "Lösung". Schau bitte mal drüber. Danke schon mal im voraus! |
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29.09.2011, 11:50 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Rechnung und Ergebnis sind richtig, wobei du in der dritt-letzten Zeile eine 2 statt 2² als Integralgrenze hast. |
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29.09.2011, 12:45 | quadratwurschtel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok, dann danke ich dir recht herzlich für deine Hilfe! ![]() Ja, stimmt, in der Zeile habe ich das Quadrat vergessen bzw. es ist mir auch erst später aufgefallen. Ich musste ja die Integrationsgrenzen ändern, wegen der Substitution mit t. |
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05.10.2011, 12:49 | quadratwurschtel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich bin's noch mal. Ich habe heute eine andere Aufgabe zum gleichen Thema gerechnet und da ist mir noch was eingefallen. Müssen hier die Grenzen für Phi nicht von 0 bis Pi, statt von 0 bis 2Pi gehen? |
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05.10.2011, 13:02 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nee, wieso? Wenn du einmal im Kreis rumgehst, hast du einen Winkel von 0 bis 2Pi durchschritten. |
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07.10.2011, 17:11 | quadratwurschtel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Naja, aber laut der Zeichnung von x²+y²=4, geht der Kreis ja nicht ein Mal rum. |
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