Doppelintegral, Grenzen bestimmen mit einer Ungleichung

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quadratwurschtel Auf diesen Beitrag antworten »
Doppelintegral, Grenzen bestimmen mit einer Ungleichung
Meine Frage:
Hallo,

ich stehe vor einem Problem.
Folgendes Doppelintegral ist gegeben:
mit Z=(x,y):1 x²+y² 4

Meine Ideen:
Ich weiß, dass ich aus dem "Z-Bereich" meine Grenzen bestimmen muss. Ich habe auch schon probiert was zu zeichnen, aber ich komme einfach auf keinen grünen Zweig.
BobbyJack Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Doppelintegral, Grenzen bestimmen mit einer Ungleichung
Hallo,

wie sieht deine Zeichnung des Gebildes denn aus?

Btw: wenn du e^(x+y) schreiben willst, dann musst du x+y in geschweifte Klammern setzen ( e^{x+y} )
quadratwurschtel Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab die Zeichnung vorhin in den Papierkorb versenkt. Augenzwinkern
Zuerst hatte ich gedacht, dass die Werte ja nur im Bereich von 1 bis 4 liegen dürfen. Dafür hatte ich dann zwei Gerade mit y=1 und y=4 eingezeichnet.

Danke für den Tipp mit den geschweiten Klammern. Ich probier's mal.

klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von quadratwurschtel
Ich hab die Zeichnung vorhin in den Papierkorb versenkt. Augenzwinkern

Dann mußt du das eben wieder aus dem Papierkorb hervorholen.

Die Frage bleibt, was für ein Gebiet Z = {(x,y): 1 <= x²+y² <= 4} ist.
quadratwurschtel Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das ist ja mein Problem mit dem Gebiet.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Und jetzt wartest du auf irgendeine Eingebung? Wie wäre, wenn du mal ein Koordinatensystem malst und darin Punkte einträgst, für die x²+y² <= 4 gilt?
 
 
quadratwurschtel Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ich warte nicht auf eine (göttliche?) Eingebung.

Ich nehme jetzt einfach mal x²+y²=4 an, stelle es nach y um und erhalte folgenden Graphen (siehe Anhang).
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

OK, das sollte dir schon mal einen deutlichen Hinweis liefern, für welche Punkte x²+y² <= 4 gilt. In welchem Gebilde liegen diese Punkte?
quadratwurschtel Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube ich hatte eine kleine Eingebung (ob's richtig ist, werden wir ja noch sehen).

Also könnte ich für x die Grenzen dann von 1 (weil x²+y²<=1) bis 2 wählen und für y dann von 1 bis y=(siehe Funktion)?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Also mit deinen Eingebungen ist es nicht so weit her. Erstmal ist doch wohl weil x²+y² >= 1 und zweitens kann durchaus x=0 sein, wenn y=2 ist.

Es wäre besser, du würdest dich um die Beantwortung meiner Fragen kümmern.
quadratwurschtel Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin ja für deine Hilfe dankbar, ehrlich, aber der Ton macht die Musik.

Was für ein Gebilde? Ein Halbkreis!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt kommen wir der Sache schon etwas näher.
Wenn man sich nun die Ungleichung x²+y² <= 4 näher anschaut, dann findet man, daß das Vorzeichen von x und y völlig belanglos ist. Wenn du also einen Punkt (x,y) hast, der das erfüllt, dann kannst du diesen an der x- bzw. y-Achse spiegeln und kommst zu weiteren Lösungspunkten.

Vielleicht hilft auch der Gedanke weiter, daß der Abstand eines Punktes vom Nullpunkt ist. Augenzwinkern
quadratwurschtel Auf diesen Beitrag antworten »

Das verwirrt mich gerade. smile

Beim (Halb)Kreis musste ich sofort an die Formel für die Kreisfläche denken. Und bei (x²+y²)^(1/2) muss ich an den Betrag von einem Vektor denken.
Aber das bringt mich beides sicher nicht weiter.

Nicht sauer werden, aber ich hab schon wieder eine Eingebung: Polarkoordinaten? Wink
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von quadratwurschtel
Beim (Halb)Kreis musste ich sofort an die Formel für die Kreisfläche denken. Und bei (x²+y²)^(1/2) muss ich an den Betrag von einem Vektor denken.
Aber das bringt mich beides sicher nicht weiter.

Doch durchaus mit dem richtigen Gedanken. Um's kurz zu machen:
x²+y² <= 4 wird von allen Punkten im Kreis mit Radius 2 um den Ursprung erfüllt.

Zitat:
Original von quadratwurschtel
Nicht sauer werden, aber ich hab schon wieder eine Eingebung: Polarkoordinaten? Wink

Darauf wird es hinauslaufen. Jetzt müssen wir uns aber noch um die Fläche Z kümmern und da alle Punkte mit x² + y² < 1 ausschließen. Mittlerweile haben wir ja gelernt, wo diese zu finden sind.

Und dann solltest du nochmal genau das Integral aufschreiben. Könnte es sein, daß es da y² heißen muß?
quadratwurschtel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Doch durchaus mit dem richtigen Gedanken. Um's kurz zu machen:
x²+y² <= 4 wird von allen Punkten im Kreis mit Radius 2 um den Ursprung erfüllt.

Ich hatte da im Internet die Tage ein Arbeitsblatt dazu gefunden, als ich nach Polarkoordinanten gegoogelt habe. Wenn ich das mal übertrage, dann müsste das bei mir 0<=r<=2 sein? Und für den Winkel dann von 0 bis 2pi?

Zitat:
Original von quadratwurschtel
Und dann solltest du nochmal genau das Integral aufschreiben. Könnte es sein, daß es da y² heißen muß?
Das vermute ich auch, denn wenn ich x und y durch Polarkoordinanten ersetze und Additionstheoreme anwende, dann bleibt nur noch e^r übrig.
Auf meinem Zettel steht allerdings genau das was oben steht, aber vermutlich habe ich mich nur beim Abschreiben geirrt.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von quadratwurschtel
Wenn ich das mal übertrage, dann müsste das bei mir 0<=r<=2 sein?

Nicht ganz. Immerhin muß ja x² + y² >= 1 sein.

Zitat:
Original von quadratwurschtel
Das vermute ich auch, denn wenn ich x und y durch Polarkoordinanten ersetze und Additionstheoreme anwende, dann bleibt nur noch e^r übrig.

Stimmt auch nicht. Wenn schon, dann bleibt übrig.

Zitat:
Original von quadratwurschtel
Auf meinem Zettel steht allerdings genau das was oben steht, aber vermutlich habe ich mich nur beim Abschreiben geirrt.

Das wollen wir mal stark hoffen. Augenzwinkern
quadratwurschtel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Nicht ganz. Immerhin muß ja x² + y² >= 1 sein.
Puuh, dann muss r zwischen 1 und 2 liegen?

Zitat:
Original von klarsoweit
Stimmt auch nicht. Wenn schon, dann bleibt übrig.
Na, das meinte ich doch. Augenzwinkern

Zitat:
Original von klarsoweit
Das wollen wir mal stark hoffen. Augenzwinkern
Ich hoffe mit.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von quadratwurschtel
Zitat:
Original von klarsoweit
Nicht ganz. Immerhin muß ja x² + y² >= 1 sein.
Puuh, dann muss r zwischen 1 und 2 liegen?

Richtig. Jetzt kannst du die Transformation mit Polarkoordinaten machen. Da bin ich mal gespannt. smile
quadratwurschtel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Richtig. Jetzt kannst du die Transformation mit Polarkoordinaten machen. Da bin ich mal gespannt. smile
Das hört sich irgendwie gemein an.
Ich mache es nachher mal handschriftlich und dann stelle ich es hier ein.
quadratwurschtel Auf diesen Beitrag antworten »

So, im Anhang findest du meine "Lösung". Schau bitte mal drüber. Danke schon mal im voraus!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Rechnung und Ergebnis sind richtig, wobei du in der dritt-letzten Zeile eine 2 statt 2² als Integralgrenze hast.
quadratwurschtel Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann danke ich dir recht herzlich für deine Hilfe! Wink

Ja, stimmt, in der Zeile habe ich das Quadrat vergessen bzw. es ist mir auch erst später aufgefallen. Ich musste ja die Integrationsgrenzen ändern, wegen der Substitution mit t.
quadratwurschtel Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin's noch mal. Ich habe heute eine andere Aufgabe zum gleichen Thema gerechnet und da ist mir noch was eingefallen. Müssen hier die Grenzen für Phi nicht von 0 bis Pi, statt von 0 bis 2Pi gehen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nee, wieso? Wenn du einmal im Kreis rumgehst, hast du einen Winkel von 0 bis 2Pi durchschritten.
quadratwurschtel Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, aber laut der Zeichnung von x²+y²=4, geht der Kreis ja nicht ein Mal rum.
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