Doppelintegral, Grenzen bestimmen mit einer Ungleichung |
| 22.09.2011, 22:23 | quadratwurschtel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Doppelintegral, Grenzen bestimmen mit einer Ungleichung Hallo, ich stehe vor einem Problem. Folgendes Doppelintegral ist gegeben: mit Z=(x,y):1 x²+y² 4 Meine Ideen: Ich weiß, dass ich aus dem "Z-Bereich" meine Grenzen bestimmen muss. Ich habe auch schon probiert was zu zeichnen, aber ich komme einfach auf keinen grünen Zweig. |
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| 23.09.2011, 02:08 | BobbyJack | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Doppelintegral, Grenzen bestimmen mit einer Ungleichung Hallo, wie sieht deine Zeichnung des Gebildes denn aus? Btw: wenn du e^(x+y) schreiben willst, dann musst du x+y in geschweifte Klammern setzen ( e^{x+y} ) |
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| 23.09.2011, 11:54 | quadratwurschtel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich hab die Zeichnung vorhin in den Papierkorb versenkt. 
Zuerst hatte ich gedacht, dass die Werte ja nur im Bereich von 1 bis 4 liegen dürfen. Dafür hatte ich dann zwei Gerade mit y=1 und y=4 eingezeichnet. Danke für den Tipp mit den geschweiten Klammern. Ich probier's mal. |
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| 23.09.2011, 12:15 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dann mußt du das eben wieder aus dem Papierkorb hervorholen. Die Frage bleibt, was für ein Gebiet Z = {(x,y): 1 <= x²+y² <= 4} ist. |
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| 23.09.2011, 13:54 | quadratwurschtel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Genau das ist ja mein Problem mit dem Gebiet. |
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| 23.09.2011, 14:33 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Und jetzt wartest du auf irgendeine Eingebung? Wie wäre, wenn du mal ein Koordinatensystem malst und darin Punkte einträgst, für die x²+y² <= 4 gilt? |
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| 23.09.2011, 16:50 | quadratwurschtel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein, ich warte nicht auf eine (göttliche?) Eingebung. Ich nehme jetzt einfach mal x²+y²=4 an, stelle es nach y um und erhalte folgenden Graphen (siehe Anhang). |
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| 24.09.2011, 14:17 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
OK, das sollte dir schon mal einen deutlichen Hinweis liefern, für welche Punkte x²+y² <= 4 gilt. In welchem Gebilde liegen diese Punkte? |
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| 24.09.2011, 17:15 | quadratwurschtel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich glaube ich hatte eine kleine Eingebung (ob's richtig ist, werden wir ja noch sehen). Also könnte ich für x die Grenzen dann von 1 (weil x²+y²<=1) bis 2 wählen und für y dann von 1 bis y=(siehe Funktion)? |
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| 24.09.2011, 21:24 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also mit deinen Eingebungen ist es nicht so weit her. Erstmal ist doch wohl weil x²+y² >= 1 und zweitens kann durchaus x=0 sein, wenn y=2 ist. Es wäre besser, du würdest dich um die Beantwortung meiner Fragen kümmern. |
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| 24.09.2011, 22:25 | quadratwurschtel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich bin ja für deine Hilfe dankbar, ehrlich, aber der Ton macht die Musik. Was für ein Gebilde? Ein Halbkreis! |
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| 26.09.2011, 09:55 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Jetzt kommen wir der Sache schon etwas näher. Wenn man sich nun die Ungleichung x²+y² <= 4 näher anschaut, dann findet man, daß das Vorzeichen von x und y völlig belanglos ist. Wenn du also einen Punkt (x,y) hast, der das erfüllt, dann kannst du diesen an der x- bzw. y-Achse spiegeln und kommst zu weiteren Lösungspunkten. Vielleicht hilft auch der Gedanke weiter, daß der Abstand eines Punktes vom Nullpunkt ist.
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| 26.09.2011, 18:36 | quadratwurschtel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das verwirrt mich gerade. 
Beim (Halb)Kreis musste ich sofort an die Formel für die Kreisfläche denken. Und bei (x²+y²)^(1/2) muss ich an den Betrag von einem Vektor denken. Aber das bringt mich beides sicher nicht weiter. Nicht sauer werden, aber ich hab schon wieder eine Eingebung: Polarkoordinaten? 
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| 26.09.2011, 23:19 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Doch durchaus mit dem richtigen Gedanken. Um's kurz zu machen: x²+y² <= 4 wird von allen Punkten im Kreis mit Radius 2 um den Ursprung erfüllt.
Darauf wird es hinauslaufen. Jetzt müssen wir uns aber noch um die Fläche Z kümmern und da alle Punkte mit x² + y² < 1 ausschließen. Mittlerweile haben wir ja gelernt, wo diese zu finden sind. Und dann solltest du nochmal genau das Integral aufschreiben. Könnte es sein, daß es da y² heißen muß? |
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| 28.09.2011, 13:23 | quadratwurschtel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich hatte da im Internet die Tage ein Arbeitsblatt dazu gefunden, als ich nach Polarkoordinanten gegoogelt habe. Wenn ich das mal übertrage, dann müsste das bei mir 0<=r<=2 sein? Und für den Winkel dann von 0 bis 2pi?
Auf meinem Zettel steht allerdings genau das was oben steht, aber vermutlich habe ich mich nur beim Abschreiben geirrt. |
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| 28.09.2011, 13:45 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nicht ganz. Immerhin muß ja x² + y² >= 1 sein.
Stimmt auch nicht. Wenn schon, dann bleibt übrig.
Das wollen wir mal stark hoffen.
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| 28.09.2011, 19:35 | quadratwurschtel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
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| 29.09.2011, 08:24 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Richtig. Jetzt kannst du die Transformation mit Polarkoordinaten machen. Da bin ich mal gespannt.
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| 29.09.2011, 09:10 | quadratwurschtel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich mache es nachher mal handschriftlich und dann stelle ich es hier ein. |
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| 29.09.2011, 11:28 | quadratwurschtel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
So, im Anhang findest du meine "Lösung". Schau bitte mal drüber. Danke schon mal im voraus! |
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| 29.09.2011, 11:50 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Rechnung und Ergebnis sind richtig, wobei du in der dritt-letzten Zeile eine 2 statt 2² als Integralgrenze hast. |
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| 29.09.2011, 12:45 | quadratwurschtel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok, dann danke ich dir recht herzlich für deine Hilfe!
Ja, stimmt, in der Zeile habe ich das Quadrat vergessen bzw. es ist mir auch erst später aufgefallen. Ich musste ja die Integrationsgrenzen ändern, wegen der Substitution mit t. |
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| 05.10.2011, 12:49 | quadratwurschtel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich bin's noch mal. Ich habe heute eine andere Aufgabe zum gleichen Thema gerechnet und da ist mir noch was eingefallen. Müssen hier die Grenzen für Phi nicht von 0 bis Pi, statt von 0 bis 2Pi gehen? |
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| 05.10.2011, 13:02 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nee, wieso? Wenn du einmal im Kreis rumgehst, hast du einen Winkel von 0 bis 2Pi durchschritten. |
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| 07.10.2011, 17:11 | quadratwurschtel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Naja, aber laut der Zeichnung von x²+y²=4, geht der Kreis ja nicht ein Mal rum. |
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