Frage zu Normalenvektor

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binomialkoeffizient Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zu Normalenvektor
Hallo,
habe ein paar Fragen zu folgender Aufgabe:

Gegeben sind zwei Geraden g1 und g2 mit dem gemeinsamen Richtungsvektor .

Die Gerade g1 enthält den Punkt P1=(5;2;3), die Gerade g2 den Punkt P2=(1;-1;8).
Welchen Abstand haben diese Geraden voneinander?
Bestimmen Sie ferner einen Normalenvektor der von den Geraden g1 und g2 aufgespannten Ebene E.

Den Abstand zur Gerade habe ich berechnet.

Frage 1:
Kann man mit dem Abstand zwischen den zwei Geraden einen Normalenvektor bilden?

Frage 2:
Bei Bestimmung des Normalenvektors n der Ebene E mit der Formel:



Warum muss man P1 minus P2 rechnen und wie verläuft der Vektor der aus diesen 2 Punkten entstanden ist?

Frage 3:

Auch beim zweiten Lösungsweg frage ich mich warum man P1-P2 rechnen muss.







(1)

(2)
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zu Normalenvektor
Frage 1 verstehe ich nicht ganz.

Frage 2: Der Vektor . Er gibt die Richtung an, die man "gehen" muss, um von P_2 nach P_1 zu gelangen.

Wenn ich also bei P_2 losgehe und -4 Schritte in Richtung x_1, danach -3 Schritte in Richtung x_2 und zum Schluss 5 Schritte in Richtung x_3 gehe, bin ich bei P_1 angelangt.

Dieser Vektor, der von P_2 nach P_1 verläuft muss in der gesuchten Ebene liegen, da die beiden Geraden in der Ebene liegen sollen


Gleiche Antwort auf deine Frage 3, denn es ist egal, welche Lösungsmethode du verwendest, ob du das LGS





löst oder ob du das Kreuzprodukt bildest.
Die Verwendung des Zeichens für das Kreuzprodukt und die Vektormultiplikation ist jedoch ungünstig und kann zu verwechslungen führen.
 
 
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zu Normalenvektor
zu frage 1:
natürlich nicht.
ich vermute allerdings, dass du mit "abstand" den vektor von z.b. laut skizze zum lotfußpunt meinst, also mit , dann gilt natürlich auch



mit
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zu Normalenvektor
Zitat:
Original von lgrizu
...
Die Verwendung des Zeichens für das Kreuzprodukt und die Vektormultiplikation ist jedoch ungünstig und kann zu verwechslungen führen.


Ich bin nicht dieser Ansicht. Dieses Zeichen ist durchaus üblich. Was man NICHT verwenden sollte, ist das normale "x", hier wird jedoch das LaTeX-Zeichen \times = geschrieben.

mY+
binomialkoeffizient Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zu Normalenvektor
Zitat:
Original von lgrizu
Frage 2: Der Vektor . Er gibt die Richtung an, die man "gehen" muss, um von P_2 nach P_1 zu gelangen.

Wenn ich also bei P_2 losgehe und -4 Schritte in Richtung x_1, danach -3 Schritte in Richtung x_2 und zum Schluss 5 Schritte in Richtung x_3 gehe, bin ich bei P_1 angelangt.
Dieser Vektor, der von P_2 nach P_1 verläuft muss in der gesuchten Ebene liegen, da die beiden Geraden in der Ebene liegen sollen




Das grün makierte funktioniert bei mir irgendwie nicht. Wenn ich bei P2 starte und Schritte laufe komm ich nicht bei P1 an sondern beim gelben Punkt auf meinem Bild.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zu Normalenvektor
Du musst entweder die Indizes vertauschen oder die Vorzeichen, ich habe mich ein wenig vertan, es ist .

Also wird aus:

Zitat:

Wenn ich also bei P_2 losgehe und -4 Schritte in Richtung x_1, danach -3 Schritte in Richtung x_2 und zum Schluss 5 Schritte in Richtung x_3 gehe, bin ich bei P_1 angelangt.


Folgendes:

Zitat:

Wenn ich also bei P_2 losgehe und 4 Schritte in Richtung x_1, danach 3 Schritte in Richtung x_2 und zum Schluss -5 Schritte in Richtung x_3 gehe, bin ich bei P_1 angelangt.


Oder:



Zitat:

Wenn ich also bei P_1 losgehe und -4 Schritte in Richtung x_1, danach -3 Schritte in Richtung x_2 und zum Schluss 5 Schritte in Richtung x_3 gehe, bin ich bei P_2 angelangt.


Entschuldige die Verwirrung, Vorzeichenfehler.
binomialkoeffizient Auf diesen Beitrag antworten »

Ja jetzt hat es funktioniert smile


Das müsste heißen, das wir aus den beiden Richtungsvektoren a und P1P2 die nicht senkrecht aufeinander stehen einen Normalenvektor bilden können der senkrecht auf Vektor a steht und somit auch senkrecht auf den Geraden g1 und g2.

So wie im Bild:
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, einen Vektor, der senkrecht auf den beiden Spannvektoren der Ebene steht erhalten wir über die Bildung des Kreuzproduktes, das hast du doch oben getan.

Deiner Zeichnung entnehme ich allerdings, dass du einen Vektor haben möchtest, der senkrecht auf den beiden Geraden steht und in der Ebene liegt. Hierzu gibt es auch Verfahren, zum Beispiel Gram Schmidt.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

oder

binomialkoeffizient Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
Ja, einen Vektor, der senkrecht auf den beiden Spannvektoren der Ebene steht erhalten wir über die Bildung des Kreuzproduktes, das hast du doch oben getan.

Deiner Zeichnung entnehme ich allerdings, dass du einen Vektor haben möchtest, der senkrecht auf den beiden Geraden steht und in der Ebene liegt. Hierzu gibt es auch Verfahren, zum Beispiel Gram Schmidt.


Eigentlich wollte ich es schon so haben wie es in der Aufgabenstellung verlangt ist^^.


Dann ist mein Bild wohl quatsch, wenn es von der Aufgabenstellung abweicht.


Mal eine blöde Frage meine Spannvektoren sind doch a und P1P2 ?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von binomialkoeffizient



Mal eine blöde Frage meine Spannvektoren sind doch a und P1P2 ?


Jap.
binomialkoeffizient Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabenstellung war ja bestimmen Sie ferner einen Normalenvektor der von der Geraden g1 und g2 aufgespannten Eben E.

Ich glaub mir ist nicht so klar was hier überhaupt gesucht ist.



Was ist mit Aufgespannter Ebene gemeint ?

Ist damit das gemeint was du hier geschrieben hast:

"Ja, einen Vektor, der senkrecht auf den beiden Spannvektoren der Ebene steht erhalten wir über die Bildung des Kreuzproduktes, das hast du doch oben getan."


Auf jedenfall weiß ich nicht wie das bildlich aussehen soll :S.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Die beiden Geraden verlaufen parallel zueinander und liegen in einer gemeinsamen Ebene. Es wird nun ein Vektor gesucht, der senkrecht auf der Ebene steht die aufgespannt wird durch die beiden Richtungsvektoren und . Es wird also ein Vektor gesucht, der senkrecht auf den beiden Spannvektoren steht, da er dann auch senkrecht auf der Ebene steht.
binomialkoeffizient Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt hab ich es verstanden smile



Danke für deine Geduld.
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