Divergenz einer Folge zeigen

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Simooon Auf diesen Beitrag antworten »
Divergenz einer Folge zeigen
Ich wollte den Konvergenzradius der Reihe bestimmen. ich weis dass der Radius 0 ist.

Mein Problem ist folgendes: Wenn man den Konv-Rad. r definiert als

bzw.



Im Grunde habe ich ein Ana 1 Problem...

Ich weis nicht wie ich die Divergenz von der Folge zeigen kann.

Ich mein es ist ja klar, dass und das für .

Welches Argument kann ich benutzen um zu zeigen dass das für alle “dominiert”?

Ok, während ich das hier am Tippen war, hatte ich den Gedanken für eine divergente Minorante zu finden.

Könnte man eventuell sagen: o.B.d.A. und da wir klein wählen, sagen wir mit . Und da gilt ab einem n, könnte man also

sagen
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Divergenz einer Folge zeigen
Zitat:
Original von Simooon
Mein Problem ist folgendes: Wenn man den Konv-Rad. r definiert als

bzw.



Ich weiß jetzt nicht, wo du diese Definition her hast, aber meines Wissens ist der Konvergenzradius anders definiert.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Divergenz einer Folge zeigen
Zuerst einmal werde ich aus deinen Ausführungen nicht so richtig schlau....

Warum benutzt du nicht das Kriterium:

Sei eine Potenzreihe um den Entwicklungspunkt x_0.

Sind die Koeffizienten von a_k von 0 verschieden und existiert der Grenzwert , so ist der Konvergenzradius.

Edit: Zu spät.....
Simooon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Divergenz einer Folge zeigen
Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von Simooon
Mein Problem ist folgendes: Wenn man den Konv-Rad. r definiert als

bzw.



Ich weiß jetzt nicht, wo du diese Definition her hast, aber meines Wissens ist der Konvergenzradius anders definiert.


Die Definition ist, wie ich finde, eine anschauliche Definition des Konvergenzradius. Ich war beim ersten Anschauen auch erst verwirrt, aber die macht schon Sinn.
Cauchy-Hadamard, oder wie dein nachredner Lim a_n/a_n+1, sind ja "nur" Formeln die man einfach durchhaut

Es ging mir eigentlich mehr darum, wie ich die divergenz dieser speziellen Folge zeigen kann. Deswegen der Verweis auf Ana 1.
Dass der Konvergenzradius 0 ist, war für mich immoment nebensächlich.
ThomasFF Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Divergenz einer Folge zeigen
Denkst du, dass Nullfolge hinreicht für Konvergenz der Reihe ist? Das ist FALSCH!
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Simooon
Welches Argument kann ich benutzen um zu zeigen dass das für alle “dominiert”?

Ist , dann ist die Folge für monoton wachsend und kann damit keine Nullfolge mehr sein.


Was die Diskussionen um diese Konvergenzradiusformeln betrifft: Das sind m.E. äquivalente Umformulierungen der Cauchy-Hadamard-Formel, also nichts, worüber man sich groß aufregen muss. Augenzwinkern
 
 
Verkasematucker Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Divergenz einer Folge zeigen
Für jedes gibt es ein so daß

Betrachte nun (als Beweisskizze...)

Simooon Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von René Gruber
Zitat:
Original von Simooon
Welches Argument kann ich benutzen um zu zeigen dass das für alle “dominiert”?

Ist , dann ist die Folge für monoton wachsend und kann damit keine Nullfolge mehr sein.


Was die Diskussionen um diese Konvergenzradiusformeln betrifft: Das sind m.E. äquivalente Umformulierungen der Cauchy-Hadamard-Formel, also nichts, worüber man sich groß aufregen muss. Augenzwinkern


Wie dieses n_0 gewählt werden kann muss ich mir merken. Aber das würde dann nur zeigen, dass es keine Nullfolge ist. Es reicht noch nicht aus, um die Divergenz der Folge zu zeigen. Da müsste man dann noch einen Nachlegen, wie dass es monoton wächst mit Häufungspunkt

Zitat:
Original von Verkasematucker
Für jedes gibt es ein so daß

Betrachte nun (als Beweisskizze...)



Der Ansatz gefällt mir sogar noch besser. Ich hatte auch die Idee gehabt, dass egal wie das gewählt ist, es ab einem n größer als 1 ist und es dann gen unendlich abhaut. Wusste aber nicht wie ich das n! da sinnvoll einbauen kann.


Wiedereinmal super Tips die ich hoffentlich nie wieder vergesse. Danke
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Simooon
Aber das würde dann nur zeigen, dass es keine Nullfolge ist. Es reicht noch nicht aus, um die Divergenz der Folge zu zeigen.

Damit widersprichst du dich selbst, denn gemäß dieser Eigenschaft

Zitat:
Original von Simooon

reicht es bereits aus - natürlich muss diese strenggenommen erst mal nachgewiesen werden, aber ich bin davon ausgegangen, dass das bei dir der Fall war, wenn du es schon so mit aufführst. Augenzwinkern
Simooon Auf diesen Beitrag antworten »

Achso ja natürlich also, um es ordentlich festzuhalten (diesmal hoffentlich ohne Fehler)
Damit die Reihe konvergiert ist es notwendig (nicht hinreichend) dass die Folge n!p^n eine Nullfolge ist.
Da ab einem n_0, die Folge monoton wachsend ist, egal für welches p, ist es definitiv keine Nullfolge.
Da es keine Nullfolge ist, hat die Reihe, keine "Chance" zu konvergieren.
Und daraus folgt dann, dass der Konvergenzradius 0 ist
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